007重力场中的等时圆模型 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题

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007 重力场中的等时圆模型专题
一.模型特点与思维方法
1．模型分析
如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，可
知加速度
a
＝
g
sin
θ
，位移
x
＝2
R
sin
θ
，由匀加速直线运动规律有
x
＝
at
2，得下滑时间
t
＝
2，即沿竖直直径自由下落的时间。图丙是甲、乙两图的组合，不难证明有相同的结论。
2．结论
模型 1　质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用
时间相等，如图甲所示；
模型 2　质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间
相等，如图乙所示；
模型 3　两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上
端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等，如图丙所示。
3．思维模板
其中模型 3 可以看成两个等时圆，分段按上述模板进行时间比较。
二.例题精讲　
例 1：如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于
M
点，与竖直墙相
1
M
•P
θ
α
M
•P
θ
α
图1
D
h
007 重力场中的等时圆模型专题
切于
A
点。竖直墙上另一点
B
与
M
的连线和水平面的夹角为 60°，
C
是圆环轨道的圆心。已知
在同一时刻 a、b 两球分别由
A
、
B
两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道
AM
、
BM
运动到
M
点；c
球由
C
点自由下落到
M
点。则(　　)
A．a 球最先到达
M
点
B．b 球最先到达
M
点
C．c 球最先到达
M
点
D．b 球和 c 球都可能最先到达
M
点
解析　由等时圆模型知，a 球运动时间小于 b 球运动时间，a 球运动时间和沿过
CM
的直
径的下落时间相等，所以从
C
点自由下落到
M
点的 c 球运动时间最短，故 C 正确。
答案　C
例 2.如图所示，在同一竖直平面内，从定点
P
到固定斜面(倾角为 θ)搭建一条光滑轨道
PM
，
使物体从
P
点释放后，沿轨道下滑到斜面的时间最短，则此轨道与竖直线的夹角 α 为多少？
解析：先用解析法求解。从定点
P
向斜面作垂线，垂足为
D
，如图 1 所示，设
P
到斜面距离为
h
，则轨道长度为
PM =h
cos(θ−α)
物体沿轨道下滑的加速度
a=gcos α
由于
PM =1
2at2
联立解得：
t=
√
2h
gcos α⋅cos (θ−α)
令根式中分母
y=cos α⋅cos(θ−α)
，利用积化和差得：
2
摘要：

007重力场中的等时圆模型专题一.模型特点与思维方法1．模型分析如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，可知加速度a＝gsinθ，位移x＝2Rsinθ，由匀加速直线运动规律有x＝at2，得下滑时间t＝2，即沿竖直直径自由下落的时间。图丙是甲、乙两图的组合，不难证明有相同的结论。2．结论模型1　质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示；模型2　质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示；模型3　两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始...

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