091带电粒子在有界磁场中的运动 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题

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091 带电粒子在有界磁场中的运动
一.必备知识
有界匀强磁场是指只在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂
直磁场方向射入磁场，在磁场区域内做一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧
轨迹，然后离开磁场区域。带电粒子在磁场中运动的圆弧轨迹取决于粒子进入磁
场的速度大小、方向和磁场的磁感应强度及磁场的区域边界。常见磁场区域边界
可分为如下几种情形：
情形一：直线边界
直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图甲、
乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性；双边平行直线边界如图丁、戊所示，粒
子进出磁场存在临界条件。
解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。
如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹
角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。
情形二：矩形边界
矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部
分圆弧。垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。
解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：
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091 带电粒子在有界磁场中的运动
(设粒子从
ad
边中点
e
垂直射入)
(1)两个临界半径
① 从
d
点射出：
r
1＝。
② 从
c
点射出：
r
＝2＋
ab
2。
(2)三种情况
①
r
≤
r
1，粒子从
ed
段射出。
②
r
1<
r
≤
r
2，粒子从
cd
段射出。
③
r
>
r
2，粒子从
cf
段射出(不会到达
f
点)。
情形三：圆形边界
圆形边界磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀
强磁场中的轨迹也是一段不完整的圆弧。由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨
迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考查学生的综合分析能力，所以是近年来高考
的热点。
带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论：
(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入
的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁
场圆的圆心，如图 1 所示。
(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方
向与过出射点的磁场圆半径的夹角，如图 2 所示。径向进出是等角进出的一种特
殊情况(
θ
＝0°)。
(3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向
进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带
电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图 3 所示。
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091 带电粒子在有界磁场中的运动
(4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中
做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆
周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方
向平行，如图 4 所示。
情形四：四分之一平面边界
四分之一平面边界磁场是指分布在平面直角坐标系中某一象限范围的有界磁
场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧，粒子轨迹与坐标轴相切或垂直是常见的临
界情况。
解决该类问题的关键是明确粒子射入(射出)磁场的位置坐标，及速度方向与
坐标轴的夹角关系，然后分析粒子做圆周运动的轨迹、圆心，寻找几何关系求解
问题。
情形五：三角形边界
三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段
圆弧，由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会
有不同的临界情景。
解答该类问题主要把握以下两点：
(1)射入磁场的方式
① 从某顶点射入。
② 从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。
(2)射出点的判断
其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。
二.典型例题
题型一：直线边界
例 1：如图所示，在竖直线
EOF
右侧足够大的区域内存在着磁感应强度大小
为
B
、方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量相同、电荷量分别为＋
q
和－
q
的带电
粒子，从
O
点以相同的速度先后射入磁场，已知
v
的方向与
OF
成
θ
＝30°角，两
带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用，则下列说法中不正确的是(　　)
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091 带电粒子在有界磁场中的运动
A．两带电粒子回到
EOF
竖直线时与
O
点的距离相等
B．两带电粒子在磁场中的运动时间相等
C．两带电粒子回到
EOF
竖直线时的速度相同
D．从射入磁场到射出磁场的过程中，两粒子所受洛伦兹力的冲量相同
答案：　选 B。
解析：两带电粒子以与
OF
成
θ
＝30°角的速度
v
射入有界匀强磁场后，由左
手定则可判断，正粒子沿逆时针方向运动，负粒子沿顺时针方向运动，它们的轨
迹如图所示，因正、负粒子所带电荷量的绝对值和质量都相同，由
qvB
＝
m
可知，
它们在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径相同，由几何关系知，负粒子在磁场中
转过的角度为 2
θ
，正粒子在磁场中转过的角度
φ
＝2π－2
θ
，则两段圆弧所对
应的弦长度相等，即带电粒子回到
EOF
竖直线时与
O
点的距离相等，A 正确；带电
粒子在磁场中做圆周运动的周期
T
＝＝，则正、负粒子的周期相同，但是轨迹圆
弧所对的圆心角不同，因此两带电粒子在磁场中的运动时间不相等，B 错误；因
洛伦兹力不改变速度的大小，结合几何关系分析知，两带电粒子回到
EOF
竖直线
时的速度相同，C 正确；两带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用，由动量定理得
I
洛＝
p
－
p
0，由于两带电粒子以相同的初速度射入磁场，初动量
p
0相等，离开磁场
时速度大小相等、方向相同，末动量
p
相等，因此两带电粒子所受洛伦兹力的冲
量相同，D 正确。本题选说法不正确的，故选 B。
题型二：圆边界
例 2　(多选)如图所示，在半径为
R
的圆形区域内充满磁感应强度为
B
的匀强
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091 带电粒子在有界磁场中的运动
磁场，
MN
是一竖直放置的感光板。从圆形磁场最高点
P
垂直磁场正对着圆心
O
射
入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为
q
、质量为
m
，不考虑粒子重力，关于粒子
的运动，以下说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长
B．出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心
O
C．出磁场的粒子一定能垂直打在
MN
上
D．只要速度满足
v
＝，入射的粒子出射后一定垂直打在
MN
上
答案　BD
解析　由
r
＝，tan＝，知粒子在磁场中通过的弧长
s
＝
θr
＝arctan，运动的
时间
t
＝＝·arctan，则
v
越大，
s
不一定越大，但时间越短，故 A 错误；带电粒
子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的
反向延长线也一定过圆心，故 B 正确；速度不同，粒子的轨道半径不同，则对着
圆心入射的粒子，沿不同的半径方向射出磁场，即出射后不一定垂直打在
MN
上，
故 C 错误；速度满足
v
＝时，粒子的轨道半径为
r
＝＝
R
，入射点、出射点、
O
点与
轨迹的圆心构成正方形，粒子出射后一定垂直打在
MN
板上，故D正确。
题型三：三角形边界
例 3.如图所示，边长为
L
的等边三角形
ABC
内、外分布着两方向相反的匀强
磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为
B
。顶点
A
处有一粒子源，粒子源能沿∠
BAC
的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均
为
m
、电荷量均为＋
q
，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度
v
0为哪
一值时粒子能通过
B
点(　　)
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摘要：

091带电粒子在有界磁场中的运动一.必备知识有界匀强磁场是指只在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场，在磁场区域内做一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧轨迹，然后离开磁场区域。带电粒子在磁场中运动的圆弧轨迹取决于粒子进入磁场的速度大小、方向和磁场的磁感应强度及磁场的区域边界。常见磁场区域边界可分为如下几种情形：情形一：直线边界直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图甲、乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性；双边平行直线边界如图丁、戊所示，粒子进出磁场存在临界条件。解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。如果粒子从同一直线边界射入和射出...

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