第一章专题强化二追及相遇问题

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专题强化二　追及相遇问题

目标要求　1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会用图象分析追及相遇问题.3.会熟练

运用运动学公式结合运动图象解决追及相遇的综合问题.

题型一　追及相遇问题

1.分析思路

可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.

(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，

也是分析、判断问题的切入点；

(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解

题的突破口.

2.能否追上的判断方法(临界条件法)

物体 B追赶物体 A：开始时，两个物体相距 x0，当 vB＝vA时，若 xB>xA＋x0，则能追上；若

xB＝xA＋x0，则恰好追上；若 xB<xA＋x0，则不能追上.

3.特别提醒

若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.

4.常用分析方法

(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目

中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.

(2)二次函数法：设相遇时间为 t，根据条件列方程，得到关于位移 x与时间 t的二次函数关

系，由此判断两物体追及或相遇情况.

①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；

②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；

③若Δ<0，说明追不上或不能相遇.

(3)极值法

设经过时间 t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差 Δx与时间的二次函数，再

利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值.

(4)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一图象中画出，然后利用图象分析、

求解相关问题.

例1　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，

恰在这时一辆自行车以 v＝6 m/s 的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，

在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？

答案　2 s　6 m

解析　解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为 t，两

车间的距离为 Δx，则有 v＝at

所以 t＝＝2 s

Δx＝vt－at2＝6 m.

解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间 t两车相距最远，则 Δx＝vt－at2

代入已知数据得 Δx＝6t－t2

由二次函数求极值的条件知：t＝2 s 时，Δx有最大值 6 m

所以 t＝2 s 时两车相距最远，为 Δx＝6 m.

解法三(图象法)：自行车和汽车的 v－t图象如图所示，

由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形

的面积，

所以有 t1＝＝ s＝2 s，

Δx＝＝ m＝6 m.

追及与相遇问题的两种典型情况

假设物体 A追物体 B，开始时，两个物体相距 x0，有两种典型情况：

(1)初速度小的匀加速运动的物体 A追匀速运动的物体 B，当 vA＝vB时，二者相距最远.

(2)初速度大的匀减速运动的物体 A追匀速运动的物体 B，当 vA＝vB时，

①若已超越，则相遇两次.

②若恰好追上，则相遇一次.

③若没追上，则无法相遇.

例2　(2020·甘肃城关市兰州一中高三月考)A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在

A车前，A车的速度大小为 v1＝8 m/s，B车的速度大小为 v2＝20 m/s，如图 1所示.当A、B

两车相距 x0＝28 m 时，B车因前方突发情况紧急刹车(刹车过程可视为匀减速直线运动)，加

速度大小为 a＝2 m/s2，从此时开始计时，求：

图1

(1)A车追上 B车之前，两者相距的最大距离；

(2)A车追上 B车所用的时间；

(3)从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，在题设条件下，A车在 B车刹车的同时也应刹

车的最小加速度.

答案　(1)64 m　(2)16 s　(3)0.25 m/s2

解析　(1)当A、B两车速度相等时，相距最远，根据速度关系得：v1＝v2－at1

代入数据解得：t1＝6 s

此时，根据位移时间的关系得：xA1＝v1t1

xB1＝v2t1－at12

Δxm＝xB1＋x0－xA1

代入数据解得：Δxm＝64 m

(2)B车刹车到停止运动所用时间： t0＝＝10 s

发生的位移：xB2＝＝100 m

此时：xA2＝v1t0＝80 m

则：xA2＜x0＋xB2，

可见此时 A车并未追上 B车，而是在 B车停止后才追上 B车停止后 A车运动时间为：t2＝＝

6 s

故所用总时间为：t＝t0＋t2＝16 s

(3)A车刹车减速至 0时刚好追上 B车时，加速度最小

＋x0＝

代入数据解得：aA＝0.25 m/s2.

1.(避碰问题)(2020·山东烟台市模拟)一汽车在直线公路段上以 54 km/h 的速度匀速行驶，突

然发现在其正前方 14 m 处有一辆自行车以 5 m/s 的速度同向匀速行驶.经过 0.4 s 的反应时间

后，司机开始刹车，则：

(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？

(2)若汽车刹车时的加速度大小只有 4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速

度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？

答案　(1)5 m/s2　(2)1 m/s2

解析　(1)设汽车的加速度大小为 a，初速度 v汽＝54 km/h＝15 m/s，

初始距离 d＝14 m

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专题强化二　追及相遇问题目标要求　1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会用图象分析追及相遇问题.3.会熟练运用运动学公式结合运动图象解决追及相遇的综合问题.题型一　追及相遇问题1.分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口.2.能否追上的判断方法(临界条件法)物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；...

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