专题09 竖直面内的圆周运动模型（原卷版）
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2025-01-03
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专题 09 竖直面内的圆周运动模型
目录
一．一般圆周运动的动力学分析........................................................................................................................1
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析................................................................................1
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论....................................................................................................2
三. 过拱凹形桥模型.............................................................................................................................................13
一．一般圆周运动的动力学分析
如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则
由牛顿第二定律，有：
，aτ改变速度 v的大小
，an改变速度 v的方向，
作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分
作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
，aτ改变速度 v的大小
，an改变速度 v的方向， ，ρ为曲率圆半径。
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见
类型
过最高点的临 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得 v临＝0
v
F
Fτ
Fn
v
F
Fτ
Fn
界条件 对应最低点速度 v低≥
√
5gr
对应最低点速度 v低≥
√
4gr
绳不松不脱轨
条件
v低≥
√
5gr
或v低≤
√
2gr
不脱轨
最低点弹力
F低-mg =mv 低2/r
F低=mg+mv 低2/r
，
向上拉力
F低-mg =mv 低2/r
F低=mg+mv 低2/r
，
向上拉力
最高点弹力
过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨
道对球产生弹力 FN＝m-mg
向下压力
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持
力，随 v的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随
v的增大而增大
在最高
点的 FN
图线
取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题 1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为 A和最低点
记为 C，与原点等高的位置记为 B。圆周的半径为
R
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点 A 的向心力恰好等于重力时，由
mg=mv2
R
可得
v=
√
gR
①
对应 C点的速度有机械能守恒
mg 2R=1
2mvC
2−1
2mv A
2
得
vC=
√
5gR
②
当小球在 C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与 O点等高的 D位置则由机械能守恒
mgR=1
2mvc
2
得
vc=
√
2gR
③
小结：(1).当
vc>
√
5gR
时小球能通过最高点 A小球在 A点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律
FA+mg=mvA
2
R
④
(2).当
vc=
√
5gR
时小球恰能通过最高点 A小球在 A点受轨道的支持力为 0
由牛顿第二定律
mg=mvA
2
R
。⑤
(3).当
√
2gR<vc<
√
5gR
时小球不能通过最高点 A小球在 A点，上升至 DA 圆弧间的某一位向右做斜抛
运动离开圆周，且 v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为 0
在DA 段射重力与半径方向的夹角为
θ
则
mg cos θ=mv2
R
、
cos θ=h
R
(4).当
0<vc≤
√
2gR
时小球不能通过最高点 A上升至 CD 圆弧的某一位置速度减为 0之后沿圆弧返回。上
升的最高点为 C永不脱离轨道
【问题 2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点 A点静止释放的小球到达最低点 C：由机械能守恒
mg 2R=1
2mvC
2
在C点由牛顿运动定律：
FN−mg=mvC
2
R
得
FN=5mg
⑥
(2)从与 O等高的 D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点 C：由机械能守恒
mgR=1
2mvC
2
在C点由牛顿运动定律：
FN−mg=mvC
2
R
得
FN=3mg
⑦
(3)从A点以初速度
vA=
√
gR
释放小球到达最低点
由机械能守恒
mg 2R=1
2mvC
2−1
2mv A
2
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专题09竖直面内的圆周运动模型目录一．一般圆周运动的动力学分析........................................................................................................................1二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析................................................................................1三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论...........................
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