重庆市涪陵第五中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（含答案）

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重庆市涪陵第五中学 2024-2025 学年高三上学期
开学考试数学试题
（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计 8 小题，总分 40 分）
1.命题"
∀x>1, x2− m>1
"的否定是( )
A.
∃x>1, x2−m ≤1
B.
∃x ≤1, x2− m≤1
C.
∀x>1, x2− m≤ 1
D.
∀x ≤ 1, x2−m≤ 1
2.已知
a , b , c ∈R
且
a>b
,则下列不等式一定成立的是( )
A.
B.
a2>b2
C.
a∨c∨¿b∨c∨¿
D.
a
c2+1>b
c2+1
3.函数
f(x)= x2
2¿x∨¿−2¿
的图象可能是( )
A. B. C. D.
4.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关,在全校学生中选取了男、女生各
n
人进行调查,并绘制如
下图所示的等高堆积条形图,故由此估算所得选项正确的是( )
参考公式及数据:
χ2=n¿¿
,其中
n=a+b+c+d
.
A.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多
B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多
C.若
n=50
,依据
α=0.01
的独立性检验,可以认为游泳运动的喜好和性别有关
D.若
n=100
,依据
α=0.01
的独立性检验,可以认为游泳运动的喜好和性别有关
5.已知函数
f(x)=x+4
x+3lnx
在
x∈(a , 2−3a)
内有最小值点，则实数
a
的取值范围是( )
A.
a>1
B.
1
3<a<1
C.
0≤ a<1
3
D.
0≤ a<1
2
6.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，
为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主 自力更生的策略，在一些领域取得了､
骄人的成绩. “ ”某科技公司为突破 芯片卡脖子 问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该
公司 2020 年全年投入芯片制造方面的研发资金为 120 亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一
年增长 9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过 200 亿元的年份是( )
(参考数据：
lg1.09 ≈0.0374 , lg 2≈0.3010 , lg3≈0.4771
)
A.2024 年 B.2025 年 C.2026 年 D.2027 年
7.定义在 R上的函数
f(x)
满足
f(x+1)=f(x −1)
，且当
x∈¿
时，
f(x)={lo g0.5 (1− x),− 1≤ x ≤ 0
−∨x∨,0<x<1
，若函数
g(x)=f(x)−mx
在
x∈[0,5]
上恰有 4个不同的零点，则实数
m
的取值范围为( )
A.
(−1
3,− 1
5)
B.
(− ∞ , − 1
5)
C.
(−1
5,0)
D.
(−1
3,0)
8.甲、乙、丙、丁、戊共 5名同学进行数学建模比赛，决出了第 1名到第 5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去
询问成绩. “老师对甲说： 你不是最差的.” “对乙说： 很遗憾，你和甲都没有得到冠军.” “对丙说： 你不是第 2名.”从
这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为( )
A.44 B.46 C.48 D.54
二、 多选题 （本题共计 3 小题，总分 18 分）
9.（6分）已知数据
x1, x2, x3,⋯, x10
,满足
xi− xi − 1=2(2≤i ≤10)
,若去掉
x1, x10
后组成一组新数据,则新数据与原
数据相比，下列说法正确的是( )
A.中位数不变
B.若
x1=1
,则数据
x1, x2, x3,⋯, x10
的第 75 百分位数为 13
C.平均数不变
D.方差变小
10.（6分）若
f(x)=¿
，则( )
A.
¿
的展开式中奇数项的二项式系数之和为
210
B.
a1+a2+⋅⋅ ⋅+a20=1−220
C.
a19=−40
D.
f(−1)
除以10 的余数为 9
11.（6分）设
f(x), g (x)
都是定义在
R
上的奇函数,且
f(x)
为单调函数,
f(1)>1
,若对任意
x∈R
有
f(g(x)− x )=a
(
a
为常数),
g(f(x+2))+g(f(x))=2x+2
,则( )
A.
g(2)=0
B.
f(3)<3
C.
f(x)− x
为周期函数 D.
∑
k=1
n
❑f(4k)=2n(n+1)
三、 填空题 （本题共计 3 小题，总分 15 分）
12.若
a>0, b>0, lga+lg ⁡b=1
,则
a+b
的最小值为_________.
13.函数
y=( 1
2)
√
− x2+2x+3
的值域为_________.
14.设定义域为
R
的函数
f(x)
的导函数为
f′(x)
，对任意的
x∈R
有
f(x)− f (− x )=2sinx
恒成立，且
f′(x)>cos ⁡x
在
(0,+∞)
上成立.若
f(π
2−t )− f (t)>cos ⁡t −sin ⁡t
，则实数
t
的取值范围为__________.
四、 解答题 （本题共计 5 小题，总分 77 分）
15.（13 分）某工厂统计了某产品的原材料投入
x
(万元)与利润
y
(万元)间的几组数据如下：
(1)根据经验可知原材料投入
x
(万元)与利润
y
(万元)间具有线性相关关系，求利润
y
(万元)关于原材料投入
x
(万元)
的线性回归方程；
(2)当原材料投入为 100 万元时，预估该产品的利润为多少万元？
附：
b
¿=
∑
i=1
n
(xi− x)( yi− y )
∑
i=1
n
❑(xi− x)2
，
a
¿=y −b
¿
x
.
16.（15 分）已知函数
f(x)=a x2+x −ln ⁡x
(
a∈R
).
(1)当
a=0
时，过点
(0,0)
作
y=f(x)
的切线，求该切线的方程；
(2)若函数
g(x)=f(x)− x
在定义域内有两个零点，求
a
的取值范围.
17.（15 分）某物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一项基本操作：每位参赛选手从A类
7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从 B类
5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A 类题操作正确得 10 分，B类题操作正确得 20 分.以两步操作得分
总和决定优胜者.总分80 分或90 分为二等奖，100 分为一等奖.某校选手李明 A类7题中有 5题会操作，B类5题
中每题正确操作的概率均为
2
3
，且各题操作互不影响.
(1)求李明被终止比赛的概率；
(2)求李明获一等奖的概率；
(3)现已知李明 A类题全部操作正确，求李明 B类题操作完后总分的期望.
18.（17 分）已知函数
f(x)=2lnx − 4
x−a
x2−2
.
(1)当
a=−3
时，求函数
f(x)
的极值；
(2)若函数
f(x)
有唯一的极值点
x0
，
① 求实数
a
取值范围；
② 证明：
x0
2⋅f(x0)+2x0
2⋅e1− x0+1≥0
.
19.（17 分）在不大于
kn(k , n∈N∗,k ≥ 2)
的正整数中，所有既不能被
2
整除也不能被
3
整除的个数记为
Fk(n)
.
(1)求
F2(4)
，
F3(3)
的值；
(2)求
F6(n)
关于
n
的表达式；
摘要：

重庆市涪陵第五中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.命题"∀x>1,x2−m>1"的否定是()A.∃x>1,x2−m≤1B.∃x≤1,x2−m≤1C.∀x>1,x2−m≤1D.∀x≤1,x2−m≤12.已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一定成立的是()A.1a<1bB.a2>b2C.a∨c∨¿b∨c∨¿D.ac2+1>bc2+13.函数f(x)=x22¿x∨¿−2¿的图象可能是()A.B.C.D.4.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关,在全校学生中选取了男、女生各n人进行调查,...

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