机器人技术讲稿第二章 机器人技术数学基础

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机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 位置和姿态的表示
2.2 坐标变换
2.3 齐次坐标变换
2.4 物体的变换及逆变换
2.5 通用旋转变换
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
1. 位置描述
在直角坐标系 A 中 , 空间任意一点 p 的位置 (Pos
ition) 可用 3x1 列向量 ( 位置矢量 ) 表示 :
2. 方位描述
空间物体 B 的方位 (Orientation)
可由某个固接于此物体的坐标系 {B}
的三个单位主矢量 [xB,yB,zB] 相对于
参考坐标系 A 的方向余弦组成的 3x3
矩阵描述 .
T
z
yx
ApppP ][
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
上述矩阵称为旋转矩阵 , 它是正交的 . 即
若坐标系 B 可由坐标系 A, 通过绕 A 的某一坐标
轴获得 , 则绕 x,y,z 三轴的旋转矩阵分别为
100
0
0
),(
0
010
0
),(
0
0
001
),(
cs
sc
z
cs
sc
y
cs
scx RRR
1
1
BBR
A
B
TA
B
A
B
333231
232221
131211
rrr
rrr
rrr
A
B
R
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
这些旋转变换可以通过右图推导
这是绕 Z 轴的旋转 . 其它两轴只要把坐标次序调换可
得上页结果 .
p
B
p
A
p
B
p
B
p
A
p
B
p
B
p
A
zz
yxy
yxx
cossin
sincos
p
B
p
B
p
B
p
A
p
A
p
A
z
y
x
z
y
x
100
0cossin
0sincos
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
旋转矩阵的几何意义 :
1) 可以表示固定于刚体上的坐标系 {B} 对参考坐
标系的姿态矩阵 .
2) 可作为坐标变换矩阵 . 它使得坐标系 {B} 中的
点的坐标 变换成 {A} 中点的坐标 .
3) 可作为算子 , 将 {B} 中的矢量或物体变换到 {A}
中 .
R
A
B
R
A
B
p
B
p
A
R
A
B
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
3. 位姿描述
刚体位姿 ( 即位置和姿态 ), 用刚体的方位矩
阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
 
 
0
B
AA
B
pRB
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
1. 平移坐标变换
坐标系 {A} 和
{B} 具有相同的方位 ,
但原点不重合 . 则点
P 在两个坐标系中的
位置矢量满足下式 :
0B
ABA
PPP
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
2. 旋转变换
坐标系 {A} 和 {B}
有相同的原点但方位不
同 , 则点 P 的在两个坐
标系中的位置矢量有如
下关系 :
PRP
BA
B
A
TA
B
A
B
B
A
RRR
1
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
3. 复合变换
一般情况原点既
不重和 , 方位也不同 .
这时有 :
(2-13)
0B
ABA
B
A
PPRP
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
例 2.1 已知坐标系 {B} 的初始位姿与 {A} 重合 , 首
先 {B} 相对于 {A} 的 ZA轴转 30°, 再沿 {A} 的 XA轴移
动 12 单位 , 并沿 {A} 的 YA轴移动 6 单位 . 求位置矢
量APB0 和旋转矩阵 BAR. 设点 p 在 {B} 坐标系中的位置
为BP=[3,7,0], 求它在坐标系 {A} 中的位置 .
0
6
12
;
100
0866.05.0
05.0866.0
)30,(
0
0
B
AA
B
zR pR
0
562.13
908.11
0
6
12
0
562.7
902.0
0B
ABA
B
A
ppRp
摘要：

机器人技术数学基础MathematicPreparationforRobotics2.1位置和姿态的表示2.2坐标变换2.3齐次坐标变换2.4物体的变换及逆变换2.5通用旋转变换Robotics数学基础2.1位置和姿态的表示1.位置描述在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:2.方位描述空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.TzyxApppP][Robotics数学基础2.1位置和姿态的表示上述矩阵称为旋转矩阵,它是正...

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