第四章 矢量代数与空间解析几何讲义

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第四章 矢量代数与空间解析几何
大纲要求
了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，空
间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影.
会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、垂直、相交
等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标
平面上的投影方程.
理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，
掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法，平面方
程和直线方程及其求法.
第一节 矢量代数
内容精要
（一） 基本概念
1.矢量的概念
定义 4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为 0 的矢量称为零矢量，用 0 表
示，方向可任意确定。长度为 1 的矢量称为单位矢量。
定义 4.2 两个矢量 a
G与b
G
，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作
ba G
G=.换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改
变大小，也没改
变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。
kajaiaa
G
GG
G
3211
(++= 称为按照 kji
G
G
G
,, 的坐标分解式， },,{ 321 aaaa
=
G
称为坐标式。
.|| 2
3
2
2
2
1aaaa ++=
G若,0≠a
G
记||
0
a
a
aG
G
G
=。知 0
a
G
是单位矢量且与 a
G的方向一致，且
0
|| aaa
G
G
=。因此，告诉我们求矢量 a
G
的一种方法，即只要求出 a
G
的大小 || a
G
和与 a
G方向一
致的单位矢量 0
a
G
，则 .|| 0
aaa
G
G
G
=若},{ 321 aaaa
=
G
，知
},cos,cos,{cos},,{ 2
3
2
2
2
1
3
2
3
2
2
2
1
2
2
3
2
2
2
1
1
0
γβα
=
++++++
=aaa
a
aaa
a
aaa
a
a
G
其中
γ
β
α
.. 是a
G分别与 Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而
,cos,cos,cos 2
3
2
2
2
1
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
2
2
2
1
1
aaa
a
aaa
a
aaa
a
++
=
++
=
++
=
γβα
且.1coscoscos 222 =++
γβα
1
2.矢量间的运算
设}.,,{},,,{},,,{ 321321321 ccccbbbbaaaa ===
G
G
G
).0||,0|(|
||||
cos),0(cos|||| ≠≠
⋅
=≤≤=⋅ ba
ba
ba
baba
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
θπθθ
.cos, 2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
332211 bbbaaa
bababa
babababa ++++
+
+
=++=⋅
θ
G
G
aaaaaaaa
G
G
G
G
G
G
G
G
⋅===⋅ 知,0cos 2
ba×的确定（1） ,sin||||||
θ
baba
G
G
G
G
=× （2） ba
G
G
×与ba
G
G
,所确定的平面
0,0||,||,( =×=×≠ babababa
G
G
G
G
G
G
G
G
即知若 ，方向可任意确定）垂直，且 baba
G
G
G
G
×,, 构成右
手系若 cba ,, 用坐标式给出，则
kabbajbabaibaba
bbb
aaa
kji
ba G
GG
G
G
G
G
G)()()( 212113312332
321
321 −+−−−==×
由行列式的性质可知 .abba
G
GG
G×−=×
ba
G
G
×的几何意义： ba
G
G
×表示以 ba
G
G
,为邻边的平行四边形
的面积，即 .||sin|||||| shababa ===×
G
G
G
G
G
θ
容易知道以 ba
G
G
,为邻边的三角形面积为
||
2
1bas
G
G
×= .
容易验证
()
.|||||| 22
2
2bababa
G
G
G
G
G
G
=⋅+×
321
321
321
)(
ccc
bbb
aaa
cba =⋅× G
G
G
cba
G
G
G
⋅× )( 的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完
全相同。
cba
G
G
G
⋅× )( 的几何意义 |)(| cba
G
G
G
⋅× 表示以 cba
G
G
G
,, 为邻边的平行六面体的体积，即
θ
cos|||||)(| cbacba
G
G
G
G
G
G
⋅×=⋅×
ba×b
a
图4-1
b
a
h
θ
θ
sin|| bh =
图4-2
图4-3
c
G
b
G
图4-4
c
G
2
.||cos|||| vshhbacba ==×=⋅×=
G
G
G
G
G
θ
容易知道以 cba
G
G
G
,, 为邻边的四面
体的体积为 .|)(|
6
1cbaV
G
G
G
⋅×=
ba G
G×的应用特别重要，既若直线 L 既垂直矢量 a
G
，也垂直矢量 bab
G
G
K
,且不平行，则 L
与ba
G
G
,确定的平面垂直，又 ba G
G×也与 ba
G
G
,确定的平面垂直，由两直线与同一平面垂面，则
两直线平行.知 L 与 ba G
G
×平行，换句话说 ba
G
G
×是直线 L 的方向向量，是 ba
G
G
,确定平面的法
矢量，这对于求直线方程与平面方程显得非常重要。
3.矢量间的关系
1. 00 332221 =++⇔=⋅⇔⊥ bababababa G
G
G
G.
2. bababa
G
G
G
G
G
G
,0|| ⇔=×⇔ 的分量对应成比例 0≠⇔ b
G
若，总存在唯一的常数
λ
，
使ba G
G
λ
=。
以上是我们在实际中判断两矢量垂直与平行的常用方法，请记住.
3. cba
G
G
G
,, 共面 cbcba
G
G
G
G
G
,0)( 若⇔=⋅×⇔ 不共线总存在唯一的两个实数
m
,
n
，使
cnbma G
G
G+= .
4.设三个矢量 321 ,, eee
G
G
G
不共面，则对空间任一矢量 a
G
，总存在唯一的三个常 ，
m
,
n
,使
.
321 enemela
G
G
G
G
++=
5.设 0≠b
G
，ba
G
G
在上的投影指的是
把a
G的起点平移到 b
G
的起点 O，过 a
G
的终点作 b
G
的
垂线交 b
G
上一点 P，OP 称为 a
G在b
G
的投影，记作 .aP brj
G
G
||||
cos||||cos|| 00
b
ba
b
b
ababaaOPaP brj G
G
G
G
G
G
G
G
GGG
G⋅
=⋅=⋅====
θθ
,
即.)(,
||
000 bbaOP
b
ba
baaP brj
G
G
G
G
G
G
G
G
K
G⋅=
⋅
=⋅= 而
这个公式对我们在后面求点到直线上距离，点到平面距离，两异面直线公垂线的长都有
帮助。
第二节 直线与平面
a
G
a
G
Oθ
bPG
图4-5
3
内容精要
（一） 定理与公式
其 中
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
000 :,,: n
zz
m
yy
l
xx
L
n
zz
m
yy
l
xx
L
n
zz
m
yy
l
xx
L
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
直线方程
点向式（对称式）：n
zz
m
yy
l
xx 000 −
=
−
=
−
参数式：
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
ntzz
mtyy
ltxx
0
0
0
两点式：
12
1
12
1
12
1zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
=
−
−
一般式：
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
平面方程
点法式 0)()()( 000 =
−
+
−
+
−
zzCyyBxxA
一般式 0
=
+
+
+
DCzByAx
三点式 0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
截距式 1=++ c
z
b
y
a
x（0,0,0
≠
≠
≠
cba ）
平面束 0)()( 22221111 =++
+
+
+
+
+
DzCyBxADzCyBxA
µ
λ
两直线 L1、L2位置关系
2
0,
||
cos 2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
π
θθ
≤≤
++⋅++
++
=
CBACBA
CCBBAA
垂直 0
212121
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⇔
nnmmll
平行
2
1
2
1
2
1n
n
m
m
l
l==⇔
两平面π1、π2位置关系
2
0,
||
cos 2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
π
θθ
≤≤
++⋅++
++
=
CBACBA
CCBBAA
垂直 0
212121
=
+
+
⇔
CCBBAA
平行
2
1
2
1
2
1C
C
B
B
A
A==
直线 L与平面π的位置关系
2
0,
||
sin 222222
π
θθ
≤≤
++++
++
=
CBAnml
nCmBlA
垂直 C
n
B
m
A
l==⇔
平行 0
=
+
+
⇔
nCmBlA
直线与平面
4
.0:,0:,0: 2222211111 =++
+
=
+
+
+
=+++ DzCyBxADzcyBxADCzByAx
π
π
π
1．设 直线
L
方程为 n
zz
m
yy
l
xx 000
−
=
−
=
−，其中 ),,( 0000 zyxP 是直线
L
上一点，
0},,{ ≠= nmlv
G
是 L 的方向向量，P1（x1,y1,z1）是直线 L 外一点，则 P1到 L 的距离为
||
|| 10
v
PPv
dG
G
×
=.
证 连接 P0P1，过 P 1作 L 的垂线，垂足为 Q，以 QPPP 010 ,分邻边作平行四边形，由 QP0
在直线 L 上，知 vQPvvQP
G
G
G
λ
=≠ 00 ,0|| 知且 ，于是
||
||
||
|| 10
0
01
1v
PPv
QP
QRPSP
QPd
λ
λ
×
===
G
||
||
||||
|||| 1010
v
PPv
v
PPv ×
=
×
=
λ
λ
注：在证明过程中假设 P0不是 P1的垂足，若P
0是垂足，则 || 10 PPd
=
，实际上 QP =
0时，
上式依然成立。
2。设平面 π 的方程为 Ax+By+Cz+D=0,
{
0},, ≠= CBAn 是平面的法矢量，P1
（
x
1,
y
1,
z
1）
是平面 π 外一点，则 P1到平面 π 的距离为 222
1111 ||
CBA
DCzByAx
d++
+
+
+
=.
证 过 1
P作平面的垂线，垂足为 Q，在平面 π 内选一点 QzyxP ≠),,( 0000 ，连接 P1P0，
得矢量 01PP ，由
π
⊥QP
1，知 00
11 ,|| nQPnQP ±= ，于是
|||)(||||| 0
01
0
01
0
1011 nPPnPPQPPPQPd ⋅=⋅±=⋅==
而},,,{ 10101001 zzyyxxPP −−−= 从而
222
101010 |)()()(|
CBA
zzCyyBxxA
d++
−
+−+−
=222
111000 |)(|
CBA
CzByAxCzByAx
++
+
+
−
+
+
=
又P
0点在平面 π 上，有 DczByAxDCzByAx −
=
+
+
⇔
=
+
+
+000000 0，故
222
111
222
111 |||)(|
CBA
DCzByAx
CBA
CzByAxD
d++
+
+
+
=
=+
+
+
−−
=
P
0
Q
L
P
1
R
图4-7
P
1
Q
P
0
π
图4-8
5
3. 设有两异面直线 ;,: 1111
1
1
1
1
1
1
1knjmilv
n
zz
m
yy
l
xx
L++=
−
=
−
=
−
;,: 2222
2
2
2
2
2
2
2knjmilv
n
zz
m
yy
l
xx
L++=
−
=
−
=
−
则两直线之间的距离 ||
)(
21
2121
vv
vvMM
d×
×⋅
=
. 证 端点分别在两异面直线上的公垂线的长度称为两异面
直线之间的距离（图 7-9）.过直线 L1作平面 π 平行于直线 L2，
在L
2上取一点 M2，在 L1上取一点 M1，从 M2引平面 π 的垂线
M2M（M 为垂足），于是 || 2MMd =即为 L1与L
2的距离.设平面
π 的法矢量为 n，则 21MM 在 n 上的投影的绝对值即为所求的距离.即
,
||
||
|)(| 21
2n
nMM
MMd n
⋅
==
而21 vvn ×= ，所以 .
||
|)(|
21
21
21
vv
vvMM
d×
×⋅
=
4. 设 L1与公垂线 O1O2确定的平面为 π1，由 π 1经过点 M1
（x1,y1,z1）设 π 1的法矢量为 1
n，
由O
1O2的方向向量为 21 vv ×，而 ,, 11211 vnvvv ⊥×⊥ 知,)( 2211 vvvn
G
××= 从而可用点法式
写出平面
π1的方程。
设 L2与公垂线 O1O2确定的平面为 π2，由 π2经过点 M2
（x1,y1,z1）设 π2的法矢量为 2
n，
同理可得 2
)
21
(
2vvvn ××= ，从而可用点法式写出平面 π2的方程，因此
公垂线 O1O2的方程： π1方程，
π2方程.
O1O2与L
1的垂足 O1： L1方程，
π2方程.
O1O2与L
2的垂足 O2： L2方程，
π1方程
5. 直线方程的点向式与一般式的相互转化.
点向式 n
zz
m
yy
l
xx 000
−
=
−
=
−转化为一般式为
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
−
−
=
−
.
,
00
00
n
zz
m
yy m
yy
l
xx
6
一般式 法转化为点向式有两种方
⎩
⎨
⎧
=+++
=+++
0
,0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
（1） 消元法：例如 消去 x，得 y,z 的一次方程，解出 m
zyy 0
−
=.消去 y，得 x，z 的
一次方程。解得 l
xx
z0
−
=，于是直线的点向式为 .
1
0
00
−
=
−
=
−
z
m
yy
l
xx
（2）由直线是两个平面的交线，知三元一次方程组有无数组解。
例如 令 z=0，解得 x=x0,y=y0,且直线既在 π1内又在 π2内，知直线既垂直于
},,{ 1111 CBAn =，又垂直于 },,{ 2222 CBAn =，所以直线的方向向量为 21 nn ×，从而直线
可用点向式表示
若从直线的一般式求直线的方向向量 v，则 .
21 nnn ×=
6．判断两直线的位置关系
设.:,:
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1n
zz
m
yy
l
xx
L
n
zz
m
yy
l
xx
L
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
（i）若 2122221111 ,},,,{||},,{ LLnmlvnmlv 则== 在同一平面内且平行
（ii）若 21 vv 且.,,0)( 21
121212
222
111
2121 共线则LL
zzyyxx
nml
nml
PPvv =
−−−
=⋅×
（iii）若 212121 ,,0)( LLPPvv 则≠⋅× 为异面直线。
7．灵活地利用所给条件，用平面的一般式求平面方程
（i）若平面经过原点，则平面方程为 Ax+By+Cz=0，再给两个条件，即可求出平面方程
（ii）若平面平行 z 轴，则平面方程为 Ax+By+D=0，再给两个条件，即可求出平面方程
（iii）若平面经过 z 轴，则平面方程为 Ax+By=0，再给一个条件，即可求出平面方程
其它情况类似。
7
摘要：

»¹cO}”ÐbW³+…vÔ1 p³ñ_

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