专题04 导数及其应用（解答题）（解析版）

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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

专题 04 导数及应用（解答题）

函数导数应用是高考必考知识点，解答题主要是压轴题的形式出现，常考题型如图所示：

考点 01 利用导数求函数单调性，求参数

一、解答题

1．（2023·全国乙卷）已知函数 .

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)是否存在 a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求 a，b的值，若不存在，说明理由.

(3)若在存在极值，求 a的取值范围.

【答案】(1) ；

(2)存在满足题意，理由见解析.

(3) .

【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求

解切线方程即可；

(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可

得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；

(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，

利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，

则，

据此可得，

函数在处的切线方程为，

即.

（2）由函数的解析式可得，

函数的定义域满足，即函数的定义域为，

定义域关于直线对称，由题意可得，

由对称性可知，

取可得，

即，则，解得，

经检验满足题意，故 .

即存在满足题意.

（3）由函数的解析式可得，

由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;

令，

则，

令，

在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，

当时，，在区间上单调递减，

此时，在区间上无零点，不合题意;

当，时，由于，所以在区间上单调递增，

所以，在区间上单调递增，，

所以在区间上无零点，不符合题意；

当时，由可得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故的最小值为，

令，则，

函数在定义域内单调递增，，

据此可得恒成立，

则，

令，则，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

故，即 (取等条件为 )，

所以，

，且注意到，

根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点 .

当时，，单调减，

当时，，单调递增，

所以 .

令，则，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，

所以

，

所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.

综合上面可知:实数得取值范围是 .

【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等

函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为 0和极值这两个条件列方程组，利

用待定系数法求解;② 验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.

2．（2022·全国乙卷）已知函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间各恰有一个零点，求 a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可

（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究

【详解】（1）的定义域为

当时, ,所以切点为 ,所以切线斜率为 2

所以曲线在点处的切线方程为

（2）

设

若,当,即

所以在上单调递增,

故在上没有零点,不合题意

若,当,则

所以在上单调递增所以 ,即

所以在上单调递增,

故在上没有零点,不合题意

若

(1)当,则,所以在上单调递增

所以存在 ,使得 ,即

当单调递减

当单调递增

所以

当,

令则

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

又，，

所以在上有唯一零点

又没有零点,即在上有唯一零点

(2)当

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摘要：

1五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题04导数及应用（解答题）函数导数应用是高考必考知识点，解答题主要是压轴题的形式出现，常考题型如图所示：考点01利用导数求函数单调性，求参数一、解答题1．（2023·全国乙卷）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析.(3).【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义...

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