专题04 导数及其应用（解答题）（解析版）

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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 04 导数及应用（解答题）
函数导数应用是高考必考知识点 ，解答题主要是压轴题的形式出现，常考题型如图所示：
考点 01 利用导数求函数单调性，求参数
一、解答题
1．（2023·全国乙卷）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在 a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求 a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求 a的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)存在 满足题意，理由见解析.
(3) .
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求
解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可
得关于实数 的方程，解方程可得实数 的值，最后检验所得的 是否正确即可；
2
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数 ，然后对函数求导，
利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论 ， 和 三中情况即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
函数在 处的切线方程为 ，
即.
（2）由函数的解析式可得 ，
函数的定义域满足 ，即函数的定义域为 ，
定义域关于直线 对称，由题意可得 ，
由对称性可知 ，
取 可得 ，
即 ，则 ，解得 ，
经检验 满足题意，故 .
即存在 满足题意.
（3）由函数的解析式可得 ，
由 在区间 存在极值点，则 在区间 上存在变号零点;
令 ，
则 ，
令 ，
在区间 存在极值点，等价于 在区间 上存在变号零点，
3
当 时， ， 在区间 上单调递减，
此时 ， 在区间 上无零点，不合题意;
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，
所以 在区间 上无零点，不符合题意；
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的最小值为 ，
令 ，则 ，
函数 在定义域内单调递增， ，
据此可得 恒成立，
则 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
故 ，即 (取等条件为 )，
所以 ，
，且注意到 ，
根据零点存在性定理可知:在区间 上存在唯一零点 .
当 时， ， 单调减，
当 时， ， 单调递增，
4
所以 .
令 ，则 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以
，
所以函数 在区间 上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数 得取值范围是 .
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等
函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为 0和极值这两个条件列方程组，利
用待定系数法求解;② 验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
2．（2022·全国乙卷）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求 a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对 分类讨论,对 分 两部分研究
【详解】（1） 的定义域为
5
当 时, ,所以切点为 ,所以切线斜率为 2
所以曲线 在点 处的切线方程为
（2）
设
若,当,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若,当,则
所以 在 上单调递增所以 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以 在 上单调递增
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递减
当 单调递增
所以
当,
令 则
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
又 ， ，
所以 在 上有唯一零点
又 没有零点,即 在 上有唯一零点
(2)当
摘要：

1五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题04导数及应用（解答题）函数导数应用是高考必考知识点，解答题主要是压轴题的形式出现，常考题型如图所示：考点01利用导数求函数单调性，求参数一、解答题1．（2023·全国乙卷）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析.(3).【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义...

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