矩阵理论赵迪知识总结-补充验单法

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补充验单法
验单法: 已知 n阶方阵 A
1.若每个 k>1 重根
1
使
1
()rank A n k
− = −
，则 A为单阵（可对角化）；
2.若有 k>1 重根
1
使得
1
()rank A n k
−  −
，则 A非单阵（不可对角）.
Pf:
11
( ) ( ) 0rank A n k A X

− = −  − =
， 恰 有
1
()n rank A k
− − =
个 基 本 解 ：
1,k
XX
(k 个线性无关的特征向量).
可知：每个 k重根恰有 k个特征向量
A必有 n个无关的特征向量
 
1,n
XX
令
可逆
1
1
0
0n
P AP D
−


= = 


，A为单阵
Eg1:
1 1 0
0 2 0
0 1 1
A


=


，
 
( ) 1,2,1A
=
,
11
=
为k=2 重根
验：
0 1 0
1 0 1 0
0 1 0
AI


−=



，
( ) 1 3 2( 3)r A I n− = = − =
A为单阵.
Eg2:
1 1 0
0 1 0
0 0 2
A


=


,
 
( ) 1,1,2A
=
,
11
=
为k=2 重根
验：
0 1 0
1 0 0 0
0 0 1
AI


−=



，
( ) 2 3 2 1( 3)r A I n− =  − = =
A为非单阵.
Eg3:
4 6 0
3 5 0
3 6 1
A


= − −


−−

,
 
( ) 1,1, 2A
=−
,
11
=
为k=2 重根
摘要：

补充验单法验单法:已知n阶方阵A1.若每个k>1重根使，则A为单阵（可对角化）；2.若有k>1重根使得，则A非单阵（不可对角）.Pf:，恰有个基本解：(k个线性无关的特征向量).可知：每个k重根恰有k个特征向量A必有n个无关的特征向量令可逆，A为单阵Eg1:，,为k=2重根验：，A为单阵.Eg2:,,为k=2重根验：，A为非单阵.Eg3:,,为k=2重根11()rankAnk−=−11()rankAnk−−11()()0rankAnkAX−=−−=1()nrankAk−−=1,kXX1,nXX()1,nPXX=1100nPAPD−==11002...

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