矩阵理论赵迪知识总结-更新QR证明1

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QR 公式证明

QR 公式：若

( )

, , , pnp

  



为列无关（高阵，列满秩,

( )

rA=

列数 p）

则有

QRA=

，



为半优阵（

Q Q I=

），

为上三角

ppp

Ot







=





为上三角，且对角元为正：

t

且有公式：

R Q A=

特别，若

AA 

为可逆阵，则有

QRA=

；



为优阵’（

−=

）

要点：先把

的列正交化, 得

，

备注：许米正交公式在复空间

中成立

证Pf：由许米（Schmidt）正交公式，可写

( )

( ) ( ) ( )

2 2 1

1 2 1

2 2 2

12 1

, , ,

p p p p

p p p





  



     

    

 

−

=−

= − − − −

则

12 p

  

⊥ ⊥ ⊥

（互正交）

可知

, , , p

  

与

, , , p

  

互相表示如下

( )

( ) ( )

2 1 2

, , , ,

0 0 1



      

   







=  + 



=





=  +  + + 



可写公式：

( ) ( )

1 2 1 2

, , , , , ,

0 0 1

     











=





………… (1)

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摘要：

1QR公式证明QR公式：若为列无关（高阵，列满秩,列数p）则有，为半优阵（），为上三角为上三角，且对角元为正：且有公式：特别，若为可逆阵，则有；为优阵’（）要点：先把的列正交化,得，备注：许米正交公式在复空间中成立证Pf：由许米（Schmidt）正交公式，可写则（互正交）可知与互相表示如下可写公式：…………(1)()12,,,pnpA=()rA=QRA=npQQ=HpQQI=R12pppttROt=0.jtHRQA=nnAA=QRA=nnQQ=1HQQ−=AQnC()()()()112122121121121222121,,,,pppppppp...

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