矩阵理论赵迪知识总结-正规阵补充(参考)2

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1
正规阵复习与补充
优相似定理：若A正规，则
1
Q AQ
−
也正规，其中 Q为优阵（
1H
QQ
−
=
）
即， 正规阵的优相似必正规！
正规分解定理：若
nn
AA
=
正规，则存在优阵 Q（
1−
=QQH
）使
1
1
0
0
H
n
Q AQ Q AQ
−


= = = 


D
（对角形）
其中，特根
1,,
n

次序任意，
 
1
( ) , , n
A
 
=
备注：
中列都是特向：
1 1 1 1
,nn
Aq q Aq q

==，
推论 1： 正规阵的一定优相似于对角形！(
1H
Q AQ Q AQ
−==D
)
推论 2(逆正规定理)：若
A
优相似于对角形，则
A
必正规
即，若存在优阵（
1−
=QQH
）使
1
Q AQ
−=D
为对角形，则
A
必正规
Pf 证： 因为
1
Q AQ
−=D
为对角形，且 Q为优阵（
1H
QQ
−
=
），可写
1
Q Q A
−=D
，即D优相似于
A
，且 对角形 D必正规，
根据优相似定理，则
A
必正规 证毕
推论 3
nn
AA
=
正规 ⇔
A
优相似于对角形！
多项正规定理：若 A为正规阵，则
01
() k
k
f A c I c A c A= + + +
必正规
其中
01
( ) c k
k
f x c x c x= + + +
为任一多项式
即， 正规阵 A的多项式
()fA
也正规！
Pf 证：先复习一个相似公式：
1 1 1 1
(P P) P ( )P, (P P ) P ( )Pf A f A f A f A
− − − −
==
对任一多项式
01
( ) c k
k
f x c x c x= + + +
成立
若A为正规阵，由于正规分解可知，存在优阵 Q（
1−
=QQH
）使
1
Q AQ
−=D
为对角形，代入任一多项式
01
( ) c k
k
f x c x c x= + + +
有
101
( ) ( ) c k
k
f Q AQ f D I c D c D
−= = + + +
为对角形！
即
1( ) ( )Q f A Q f D
−=
为对角形， 且
Q
为优阵（
1H
QQ
−
=
）
摘要：

1正规阵复习与补充优相似定理：若A正规，则也正规，其中Q为优阵（）即，正规阵的优相似必正规！正规分解定理：若正规，则存在优阵Q（）使（对角形）其中，特根次序任意，备注：中列都是特向：推论1：正规阵的一定优相似于对角形！()推论2(逆正规定理)：若优相似于对角形，则必正规即，若存在优阵（）使为对角形，则必正规Pf证：因为为对角形，且Q为优阵（），可写，即D优相似于，且对角形D必正规，根据优相似定理，则必正规证毕推论3正规⇔优相似于对角形！多项正规定理：若A为正规阵，则必正规其中为任一多项式即，正规阵A的多项式也正规！Pf证：先复习一个相似公式：对任一多项式成立若A为正规阵，由于正规分解可知，存在...

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