最优化理论与方法课件3ucobasis

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3 解和算法的基本性质 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
可行方向
min
𝒙∈𝑆
𝑓(𝒙)
已知实值函数， ：
主要关注 , 或者极小点 .
多元函数的极值问题
一元函数的极值问题
可行方向
已知，称是处的可行方向，如
果存在使得
{
𝒙+𝛼𝒅:0 ≤𝛼≤𝛼
}
⊆𝑆
定义
𝜙′
(
𝛼
)
=
⟨
𝛁𝒇
(
𝒙+𝛼𝒅
)
,𝒅
⟩
,
𝜙′ ′
(
𝛼
)
=𝒅
𝑇
𝛁
𝟐
𝒇
(
𝒙+𝛼𝒅
)
𝒅,
𝑆=
{
(
𝑥
1
,𝑥
2
)
:𝑥
1
≥0,𝑥
1
≥0
}
(0,0)
(1/2,0)
可行方向集合是第一卦限
可行方向集合是上半平面
3 解和算法的基本性质 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
一阶条件
定理 3.1.1 设设是上的函数 . 如果是在上的局部极小
点，那么对处的任何可行方向， .
证明 . 对，
考虑 𝜙
(
𝛼
)
=𝑓(𝒙
∗
+𝛼𝒅)， 0 ≤𝛼≤𝛼.
𝜙
′
(
0
)
≥0
如果 与0是在的局部极小
点矛盾
从而 =
表明函数在局部极小点处，沿任何可
行方向的变化率 (方向导数 )非负 .
3 解和算法的基本性质 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
一阶条件 (续)
推论 3.1.2 设设是上的函数 . 如果是在上的局部极小
点，并且是的内点，那么 .
例3.1.1 考虑
min imize
𝒙∈ℝ
2
𝑓
(
𝒙
)
=1
2𝑥
1
2
+1
4𝑥
2
4
−1
2𝑥
2
2
𝑥
1
¿0
𝑥
2
3
−𝑥
2
¿0
是无约束优化，令偏导数为零：
有三个解 ， ， .
例3.1.2 考虑
min imize
𝒙∈ℝ
2
𝑓
(
𝒙
)
=𝑥
1
2
−𝑥
1
+𝑥
2
+𝑥
1
𝑥
2
由图解法得局部极小点
⟹𝛁𝒇
(
𝒙
∗
)
=(0,3 /2)
( ) 是处的可行方向当且仅当 3/2
3 解和算法的基本性质 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
其中 *是目标函数的驻点，是函数在第一卦限的局部极小点
的等值线
3 解和算法的基本性质 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
二阶必要条件
定理 3.2.1 设设是上的函数 . 如果是在上的局部极小
点，那么对处的任何可行方向， i) , ii) 如果，那么 .
证明 . 对，
𝜙
(
𝛼
)
−𝜙
(
0
)
=1
2𝜙
′ ′
(
0
)
𝛼
2
+𝑜(𝛼
2
)
考虑 𝜙
(
𝛼
)
=𝑓(𝒙
∗
+𝛼𝒅)， 0 ≤𝛼≤𝛼.
𝜙
′ ′
(
0
)
≥0
如果 与0是在的局部极小
点矛盾
从而 =
i) 函数在局部极小点
处，沿任何可行方向的
变化率非负；
ii) 当变化率为零时，
函数沿该方向的曲率非
负.
3 解和算法的基本性质 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
二阶必要条件 (续)
定理 3.2.2( 二阶必要条件—无约束情形 ) 假设的内点是
函数在上的局部极小点，那么是半正定的 .
例3.1.2 考虑
局部极小点
⟹𝛁𝒇
(
𝒙
∗
)
=(0,3 /2)
3/2
一阶必要条件：
min imize
𝒙∈ℝ
2
𝑓
(
𝒙
)
=𝑥
1
2
−𝑥
1
+𝑥
2
+𝑥
1
𝑥
2
( ) 是处的可行方向当且仅当
当，得到 ,
从而斜率为 0 的可行方向集合为
=.
满足二阶必
要条件
摘要：

3解和算法的基本性质LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)可行方向min∈()已知实值函数，：主要关注,或者极小点.多元函数的极值问题一元函数的极值问题可行方向已知，称是处的可行方向，如果存在使得{+:0≤≤}⊆定义′()=⟨(+),⟩,′′()=(+),={(1,2):1≥0,1≥0}(0,0)(1/2,0)可行方向集合是第一卦限可行方向集合是上半平面3解和算法的基本性质LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)一阶条件定理3...

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