最优化理论与方法课件11cqsensitivity

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5 约束优化的理论：约束品性与灵敏度分析 LHY-SMS-BUAA

最优化理论与方法 I ( 最优化基础

)

正则性与 KKT 条件

设目标和约束函数在所考虑的点处是可微的 .

那么正则局部极小点是问题的 KKT 点.

考虑

minimize x2

subject to

(P1)

minimize x1

subject to

(P2)

(

0,0

)

是

(

)

和( P 2)的最优解 .

例5.7.1 ( 缺乏正则性时 KKT 条件失

效)

按语：如果正则性不成立，凸规划的极小点也不一定是

KKT 点!

是(P1) 的KKT 点，但

不是 (P2) 的KKT 点.

5 约束优化的理论：约束品性与灵敏度分析 LHY-SMS-BUAA

最优化理论与方法 I ( 最优化基础

)

约束品性

约束品性是对约束行为施加的充分条件，每种 CQ 都确

保局部极小点是 KKT 点(Lagrange 乘子的存在性 ).

正则性是一种约束品性 /约束规范 (constraint

qualification, CQ).

用LICQ 代替正则性，重新描述最优性的一阶和二阶必

要条件

如果是 (MP) 的正则点，称处线性无关约束品性 (linear

independence constraint quality, LICQ)成立 . 它不仅保证

了乘子的存在性，还保证了与对应的乘子是唯一的 .

约束品性仅出现在最优性的必要条件中 . 最优性的充分

条件不需要任何约束品性 .

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最优化理论与方法 I ( 最优化基础

)

线性无关约束品性

定理 5.5.1 ( 一阶必要条件 ) 设(MP) 中，且可行点处

LICQ 成立 . 若是 (MP) 的极小点 , 则是 (MP) 的KKT 点.

定理 5.6.1( 二阶必要条件 ) 设(MP) 中且可行点处 LICQ

成立 . 若是 (MP) 的极小点 , 则是 (MP) 的KKT 点，且，

其中

，

𝑀=

{

𝒅∈ℝ

𝑛

:∇h

𝑖

(

𝒙

∗

)

𝑻

𝒅=𝟎∀𝑖,∇𝑔

𝑗

(

𝒙

∗

)

𝑻

𝒅=𝟎∀𝑗∈𝐴

(

𝒙

∗

)

}

LICQ 对于包含不等式约束的问题，过于苛刻！

常用约束品性除 LICQ 外，还有 MFCQ 、Slater 条件和

线性 /凹约束 CQ.

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摘要：

5约束优化的理论：约束品性与灵敏度分析LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)正则性与KKT条件设目标和约束函数在所考虑的点处是可微的.那么正则局部极小点是问题的KKT点.考虑minimizex2subjectto(P1)minimizex1subjectto(P2)(0,0)是(P1)和(P2)的最优解.例5.7.1(缺乏正则性时KKT条件失效)按语：如果正则性不成立，凸规划的极小点也不一定是KKT点!是(P1)的KKT点，但不是(P2)的KKT点.5约束优化的理论：约束品性与灵敏度分析LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)约束品性约束品性是对约束行为施...

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