112简谐运动的五个特征及其应用 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题
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2025-01-03
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112 简谐运动的五个特征及其应用
一.必备知识
1．简谐运动的概念
如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(
x
－
t
图像)是一条
正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
动力学表达式：
F
＝－
kx
，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
运动学表达式：
x
＝
A
sin(
ωt
＋
φ
0)，其中
A
表示振幅，
ω
＝＝2π
f
表示简谐运动的快慢，
ωt
＋
φ
0表示简谐运动的相位，
φ
0叫作初相
简谐运动的图像如右图所示。
物理意义：表示振动质点的位移随时间的变化规律。
任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻振子的速度大小，斜率正负表
示速度的方向，斜率为正时，表示振子的速度沿
x
轴正方向；斜率为负时，表示振子的速度
沿
x
轴负方向。
2．平衡位置
振动物体原来（没有振动时）静止时的位置。
3．回复力
(1)定义：使振动物体在平衡位置附近做往复运动的力。
(2)方向：总是指向平衡位置。
(3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
4．描述简谐运动的物理量
物理量 定义 意义
位移 由平衡位置指向物体所在位置的有向
线段
描述物体振动中某时刻的位置相对于平
衡位置的位移
振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量
周期 振动物体完成一次全振动所需要的时
间描述振动的快慢，两者互为倒数：
T
＝
频率 振动物体完成全振动的次数与所用时
间之比
相位
ωt
＋
φ
0
描述周期性运动在各个时刻所处的不同
状态
5.基本模型
简谐运动的两种模型
模型 弹簧振子 单摆
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112 简谐运动的五个特征及其应用
示意图
简谐运动条
件
(1)弹簧质量可忽略
(2)无摩擦等阻力
(3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻质细线
(2)无空气阻力
(3)最大摆角
θ
<5°
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向的分力
平衡位置 弹簧处于原长处，回复力、合力为 0 最低点，回复力为 0 但合力不为 0
周期 与振幅无关
T
＝2π
T
＝2π
能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能
守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能
守恒
6.简谐运动的特征
（1）动力学特征
F
＝－
kx
，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，
k
是比例系数，不一定是弹簧的劲
度系数。
（2）运动学特征
做简谐运动的物体加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比而方向相反，为变加速
运动，远离平衡位置时，
x
、
F
、
a
、
E
p均增大，
v
、
E
k均减小，靠近平衡位置时则相反。
（3）周期性特征
相隔
nT
(
n
为正整数)的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。
（4）对称性特征
①时间对称性：相隔或(
n
为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、
速度、加速度大小相等、方向相反。如图甲所示：
O
为平衡位置，
A
、
B
为振子偏离平衡位置最大位移处，振子
t
时刻在
C
点，
t
＋时刻运动
到
D
点，则位移
xD
＝－
xC
，速度
vD
＝－
vC
，加速度
aD
＝－
aC
。
②空间对称性：如图乙所示，振子经过关于平衡位置
O
对称的两点
P
、
P
′(
OP
＝
OP
′)时，
速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
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112 简谐运动的五个特征及其应用
此外，振子由
P
到
O
所用时间等于由
O
到
P
′所用时间，即
tPO
＝
tOP
′。振子往复过程中通
过同一段路程(如
OP
段)所用时间相等，即
tOP
＝
tPO
。
（5）能量特征
简谐运动的能量包括动能
E
k和势能
E
p，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系
统的机械能守恒。
二.典型例题
题型 1：简谐运动的对称性与多解问题
例 1. (多选)弹簧振子做简谐运动，
O
为平衡位置，当它经过点
O
时开始计时，经过 0.3
s，第一次到达点
M
，再经过 0.2 s 第二次到达点
M
，则弹簧振子的周期不可能为( )
A．0.53 s B.1.4 s C.1.6 s D.2 s E．3 s
答案：BDE。
解析：从
O
点出发第一次到达
M
点，运动情况有图甲、乙两种可能。如图甲所示，设
O
为平衡位置，
OB
(
OC
)代表振幅，振子从
O
→
C
所需时间为，因为简谐运动具有对称性，所以振
子从
M
→
C
所用时间和从
C
→
M
所用时间相等，故＝0.3 s＋ s＝0.4 s，解得
T
＝1.6 s；如图
乙所示，若振子一开始从平衡位置向点
B
运动，设点
M
′与点
M
关于点
O
对称，则振子从点
M
′经过点
B
到点
M
′所用的时间与振子从点
M
经过点
C
到点
M
所需时间相等，即 0.2 s，振子
从点
O
到点
M
′、从点
M
′到点
O
及从点
O
到点
M
所需时间相等，为＝ s，故周期为
T
＝0.5 s
＋ s≈0.53 s。所以周期不可能的选项为B、D、E。
题型二：简谐运动的周期性及多解问题
例 2．(2018·天津高考)(多选)一振子沿
x
轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。
t
＝0
时振子的位移为－0.1 m，
t
＝1 s 时位移为 0.1 m，则( )
A．若振幅为 0.1 m，振子的周期可能为 s B．若振幅为 0.1 m，振子的周期可能为 s
C．若振幅为 0.2 m，振子的周期可能为 4 s D．若振幅为 0.2 m，振子的周期可能为 6 s
答案 AD
解析 若振幅为 0.1 m，根据题意结合函数表达式和正弦函数单位圆，可知从
t
＝0 s 到
t
＝1 s 振子经历的时间为
T
＝1 s(
n
＝0,1,2,3…)，解得
T
＝ s(
n
＝0,1,2,3…)，当
n
＝1 时，
T
＝ s，当
T
＝ s 时，代入得
n
＝，不符合题意，A 正确，B 错误；如果振幅为 0.2 m，结合位
移—时间关系图象，有 1 s＝＋
nT
(
n
＝0,1,2,3，…) ①，或者 1 s＝
T
＋
nT
(
n
＝0,1,2,3，
…) ②，或者 1 s＝＋
nT
(
n
＝0,1,2,3…) ③，对于①式，只有当
n
＝0 时，
T
＝2 s，为整数；
对于②式，
T
不为整数，对于③式，只有当
n
＝0 时，
T
＝6 s，
T
为整数，故 C 错误，D正确。
题型三：简谐运动证明
例 3：地心隧道是根据凡尔纳的《地心游记》所设想出的一条假想隧道，它是一条穿过
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摘要：
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112简谐运动的五个特征及其应用一.必备知识1．简谐运动的概念如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A表示振幅，ω＝＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作初相简谐运动的图像如右图所示。物理意义：表示振动质点的位移随时间的变化规律。任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻振子的速度大小，斜率正负表示速度的方向，斜率为正时，表示振子的速度沿x轴正方向；斜率为负时，表示振子的速...
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