113简谐振动方程与图像 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题
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2025-01-03
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113 简谐振动方程与图像
一.必备知识
1.图像特征
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始时
刻的位置。对应的振动方程：
x
＝
A
sin(
ωt
＋
φ
0)，其中
A
表示振幅，
ω
＝＝2π
f
表示简谐
运动的快慢，
ωt
＋
φ
0表示简谐运动的相位，
φ
0叫作初相
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的
轨迹。
(3)任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻振子的速度大小，斜率正负
表示速度的方向，斜率为正时，表示振子的速度沿
x
轴正方向；斜率为负时，表示振子的速
度沿
x
轴负方向。
2．图像信息
(1)由图像可以看出质点振动的振幅、周期。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度和速度的方向。
① 回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度的方向在图
像上总是指向
t
轴。
② 速度的方向：某时刻速度的方向既可以通过该时刻在图像上对应点的切线的斜率来判
断，还可以通过下一时刻位移的变化来判断，若下一时刻位移增加，速度方向就是远离
t
轴
若下一时刻位移减小，速度方向就是指向
t
轴。
(4)可以确定某段时间质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。
3.对振动图像的理解
(1)可确定振动质点在任一时刻的位移。如图所示，
t
1、
t
2时刻质点偏离平衡位置的位移
分别为
x
1＝7 cm，
x
2＝－5 cm。
(2)可确定质点振动的振幅，图像中最大位移的绝对值就是质点振动的振幅。如图所示，
质点振动的振幅是 10 cm。
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113 简谐振动方程与图像
(3)可确定质点振动的周期和频率，振动图像上一个完整的正弦(或余弦)图形在时间轴上
拉开的“长度”表示周期，频率等于周期的倒数。如图所示，
OD
、
AE
、
BF
的间隔都等于质点
振动的周期，
T
＝0.2 s，频率
f
＝＝5 Hz。
(4)可确定质点的振动方向。如图所示，在
t
1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；
在
t
3时刻，质点正朝向平衡位置运动。
(5)可比较各时刻质点加速度的大小和方向。例如在图中
t
1时刻，质点偏离平衡位置的位
移
x
1为正，则加速度
a
1为负；在
t
2时刻，质点偏离平衡位置的位移
x
2为负，则加速度
a
2为正；
因为|
x
1|>|
x
2|，所以|
a
1|>|
a
2|。
二.典型例题
题型一：振动图像与振动方程
例 1． (多选)弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，把小钢球从平衡位置向左拉一段距
离，放手让其运动。从小钢球通过平衡位置开始计时，其振动图像如图所示。下列说法正确
的是( )
A．
t
＝0.5 s 时钢球的加速度为正向最大
B．在
t
0时刻弹簧的形变量为 4 cm
C．钢球振动半个周期，回复力做功为零
D．钢球振动方程为 x＝5sinπ
t
cm
答案：BCD。
解析：由振动图像可以看出钢球的振动周期为
T
＝2 s，
t
＝0.5 s 时钢球的位移为正向最
大，加速度为负向最大，故 A 错误；弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，平衡位置时弹簧
的形变量为零，由图知
t
0时刻钢球在平衡位置的右侧距离平衡位置为 4 cm 处，则弹簧的形变
量为 4 cm，故 B 正确；经过半个周期后，钢球的速度大小与原来相等，动能变化为零，根据
动能定理知回复力做功为零，故 C 正确；振幅
A
＝5 cm，圆频率
ω
＝＝π rad/s，则钢球振
动方程为 x＝
A
sin
ωt
＝5sinπ
t
cm，故 D 正确。
题型二：根据图像信息求位移与路程
例 2. (人教版选择性必修第一册·P34·T2改编)如图所示，在
t
＝0 到
t
＝4 s 的范围内回
答以下问题。
(1)质点相对平衡位置的位移的方向在哪些时间内跟它的
瞬时速度的方向相同？在哪些时间内跟瞬时速度的方向相反？
(2)质点在第2 s 末的位移是多少？
(3)质点在前2 s 内走过的路程是多少？
答案 (1)在 0～1 s,2～3 s 内位移方向跟它的瞬时速度
方向相同 在 1～2 s,3～4 s 内位移方向跟它的瞬时速度方向
相反 (2)0 (3)20 cm
解析 (1)位移—时间图线的某点的切线的斜率即是某时刻的速度，可知，质点相对平衡
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摘要：
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113简谐振动方程与图像一.必备知识1.图像特征(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始时刻的位置。对应的振动方程：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A表示振幅，ω＝＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作初相(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。(3)任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻振子的速度大小，斜率正负表示速度的方向，斜率为正时，表示振子的速度沿x轴正方向；斜率为负时，表示振子的速度沿x轴负方向。2．图像信息(1)由图像可以看出质点振动的振幅、周期。(2)可以确...
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