第十章 专题强化十八 带电粒子在有界匀强磁场中的运动

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专题强化十八　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
目标要求 　1.能够确定粒子运动的圆心、半径、运动时间.2.学会处理带电粒子在直线边界、
圆形边界磁场中运动的问题.3.会分析带电粒子在匀强磁场中的临界问题和多解问题．
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力 F的方向，其交点即为
圆心，如图 1甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点
即为圆心，如图乙．
图1
图2
2．半径的确定和计算
(1)连接圆心和轨迹圆与边界的交点，确定半径，然后用几何知识求半径，常用解三角形法 ，
如图 2
R＝或由 R2＝L2＋(R－d)2求得 R＝
(2)在分析几何关系时，特别要掌握以下两点
① 粒子速度的偏向角 φ等于圆心角 α，且等于 AB 弦与切线的夹角(弦切角 θ)的2倍(如图 3所
示)，即 φ＝α＝2θ＝ωt.
② 相对的弦切角 θ相等，与相邻的弦切角 θ′互补，即 θ＋θ′＝π.
图3
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 α时，其运动时间：
t＝T或t＝(l为弧长)．
4．数学原理
(1)几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交．
(2)对称性：圆与直线相交，轨迹(圆弧)关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相交，
轨迹(圆弧)关于两圆心的连线轴对称．(如图 4)
　
图4
(3)构造三角形
(4)确定角度
① 有已知角度：利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；
② 没有已知角度：利用边长关系确定．
题型一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图 5所示)
图5
2．平行边界(往往存在临界条件，如图 6所示)
图6
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图 7所示．
图7
(2)不沿径向射入时，如图 8所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为 θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为 θ.
图8
　　　　　 直线边界的磁场
例1　(2020·黑龙江大庆市实验中学高三开学考试)如图 9所示，直线 MN 上方有垂直纸面向
里的匀强磁场，电子 1从磁场边界上的 a点垂直 MN 和磁场方向射入磁场，经 t1时间从 b点
离开磁场．之后电子 2也由 a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经 t2时间从
a、b连线的中点 c离开磁场，则为(　　)
图9
A．3 B．2 C. D.
答案　A
解析　电子 1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示，
电子 1垂直边界射进磁场，从 b点离开，则运动了半个圆周，ab 即为直径，c点为圆心，电
子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经 t2时间从 a、b连线的中点 c离开磁场，根据半
径r＝可知，电子 1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc 为等边三角形，则电子 2转
过的圆心角为 60°，所以电子 1运动的时间 t1＝＝，电子 2运动的时间 t2＝＝，所以＝3，故
A正确，B、C、D错误．
　　　　　 圆形边界磁场
例2　(多选)如图 10 所示为一圆形区域的匀强磁场，在 O点处有一放射源，沿半径方向射
出速率均为 v的不同带电粒子，其中带电粒子 1从A点飞出磁场，带电粒子 2从B点飞出磁
场，不考虑带电粒子的重力，则(　　)
图10
A．带电粒子 1与带电粒子 2在磁场中运动时间之比为 2∶1
B．带电粒子 1与带电粒子 2在磁场中运动时间之比为 2∶3
C．带电粒子 1的比荷与带电粒子 2的比荷之比为 3∶1
D．带电粒子 1的比荷与带电粒子 2的比荷之比为∶1
答案　BC
解析　两个粒子的轨迹圆心 O1、O2位置如图所示，二者轨迹对应的圆心角分别为
120°、60°，设圆形磁场的半径为 R，由几何知识可得两个粒子的轨迹半径分别为 R、R，结
合公式 r＝、T＝可知，二者比荷之比为 3∶1，周期之比为 1∶3，又因为二者轨迹对应的圆
心角分别为 120°、60°，所以二者在磁场中运动时间之比为 2∶3，选项 B、C正确．
例3　(2016·全国卷Ⅱ·18)一圆筒处于磁感应强度大小为 B的匀强磁场中，磁场方向与筒的
轴平行，筒的横截面如图 11 所示．图中直径 MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角
速度 ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔 M射入筒内，射入时的运动方向与
MN 成30°角．当筒转过 90°时，该粒子恰好从小孔 N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未
与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为(　　)
摘要：

专题强化十八　带电粒子在有界匀强磁场中的运动目标要求　1.能够确定粒子运动的圆心、半径、运动时间.2.学会处理带电粒子在直线边界、圆形边界磁场中运动的问题.3.会分析带电粒子在匀强磁场中的临界问题和多解问题．1．圆心的确定方法(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图1甲．(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．图1图22．半径的确定和计算(1)连接圆心和轨迹圆与边界的交点，确定半径，然后用几何知识求半径，常用解三角形法，如图2R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝(2)在分析几何关...

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