第一部分必考内容必修1 第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力与航天

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第4讲　万有引力与航天

知识要点

一、开普勒三定律

1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一

个焦点上。

2.开普勒第二定律：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内

扫过相等的面积。

3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次

方的比值都相等。

二、万有引力定律及其应用

1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引

力的大小与物体的质量 m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离 r的平方成反比。

2.表达式：F＝G

G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。

3.适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大

小时，物体可视为质点。

(2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r是两球心间的距离。

三、三个宇宙速度

1.第一宇宙速度

(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为 7.9__km/s。

(2)特点

① 第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度。

② 第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度。

(3)第一宇宙速度的计算方法

①由G＝m得v＝＝7.9 km/s

②由mg＝m得v＝＝7.9 km/s

2.宇宙速度与运动轨迹的关系

(1)v发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动。

(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。

(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。

(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。

基础诊断

1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 (

)

A.太阳位于木星运行轨道的中心

B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

解析　行星做椭圆运动，且在不同的轨道上，所以 A、B项错误；根据开普勒第

三定律，可知 C项正确；对在某一轨道上运动的天体来说，天体与太阳的连线

在相等时间内扫过的面积相等，而题中是两个天体、两个轨道，所以 D项错误。

答案　C

2.一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直

径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它

在地球上所受万有引力的(　　)

A.0.25 倍 B.0.5 倍 C.2.0 倍 D.4.0 倍

解析　由F引＝＝＝＝2F地，故 C项正确。

答案　C

3.北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统

(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括 5颗同步卫星和 30 颗一般轨道卫星。

对于其中的 5颗同步卫星，下列说法正确的是(　　)

A.它们运行的线速度一定不小于 7.9 km/s

B.地球对它们的吸引力一定相同

C.一定位于赤道上空同一轨道上

D.它们运行的加速度一定相同

解析　同步卫星运行的线速度一定小于 7.9 km/s，选项 A错误；由于 5颗同步

卫星的质量不一定相等，所以地球对它们的吸引力不一定相同，选项 B错误；5

颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上，它们运行的加速度大小一定相等，

方向不相同，选项 C正确，D错误。

答案　C

　开普勒三定律的理解和应用

[教材原题：人教版必修 2·P36·T1]

【例 1】地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，

用来量度太阳系内天体与太阳的距离。已知火星公转的轨道半径是 1.5 天文单位

根据开普勒第三定律，火星公转的周期是多少个地球日？

解析　根据开普勒第三定律有

＝

解得 T火＝()T地＝1.5×365 日＝671 日

答案　671 日

【拓展提升 1】地球公转半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，

用来量度太阳系内天体与太阳的距离。已知火星公转的轨道半径是 1.5 天文单位

则火星公转的周期与地球公转的周期之比为(　　)

A. B. C. D.

解析　由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，D正确。

答案　D

【拓展提升 2】 (2018·全国Ⅲ卷，15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地

球卫星 P，其轨道半径约为地球半径的 16 倍；另一地球卫星 Q的轨道半径约为

地球半径的 4倍。P与Q的周期之比约为(　　)

A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1

解析　由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C正确。

答案　C

1.2018 年2月7日凌晨，太空技术探索公司 Space X 成功通过猎鹰重型火箭将一

辆特斯拉跑车送入绕太阳飞行的轨道。如图1所示，已知地球中心到太阳中心的

距离为 rD，火星中心到太阳中心的距离为 rH，地球和火星绕太阳运动的轨迹均

可看成圆，且rH＝1.4rD，若特斯拉跑车沿图中椭圆轨道转移，则其在椭圆轨道

上的环绕周期约为(　　)

图1

A.1.69 年 B.1.3 年

C.1.44 年 D.2 年

解析　设跑车在椭圆轨道上的运行周期为 T，椭圆轨道的半长轴为 R，由开普勒

第三定律有＝，其中 R＝，TD＝1年，解得跑车在椭圆轨道上的运行周期 T≈1.3

年，B正确。

答案　B

2.(2019·江苏卷，4)1970 年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球

卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图2所示，设卫星在近地点、远

地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为 r，地球质量为 M，引力常量

为G。则(　　)

图2

A.v1＞v2，v1＝ B.v1＞v2，v1＞

C.v1＜v2，v1＝ D.v1＜v2，v1＞

解析　卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速

度，即 v1＞v2。若卫星以近地点时的半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度 v

近＝，由于卫星在近地点做离心运动，则 v1＞v近，即 v1＞，选项 B正确。

答案　B

　万有引力定律的理解及应用

1.万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力 F表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体随地球

自转的向心力 F向。

(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。

(2)在两极上：G＝mg0。

(3)在一般位置：万有引力 G等于重力 mg 与向心力 F向的矢量和。

越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为

万有引力近似等于重力，即＝mg。

2.星球上空的重力加速度 g′

(1)在星球表面附近的重力加速度 g(不考虑星球自转)；mg＝G，得 g＝。

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摘要：

第4讲　万有引力与航天知识要点一、开普勒三定律1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。2.开普勒第二定律：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。二、万有引力定律及其应用1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。2.表达式：F＝GG为引力常量：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。3.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的...

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