专题09 竖直面内的圆周运动模型（解析版）

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专题 09 竖直面内的圆周运动模型
目录
一．一般圆周运动的动力学分析........................................................................................................................1
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析................................................................................1
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论....................................................................................................2
三. 过拱凹形桥模型.............................................................................................................................................13
一．一般圆周运动的动力学分析
如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则
由牛顿第二定律，有：
，aτ改变速度 v的大小
，an改变速度 v的方向，
作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分
作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
，aτ改变速度 v的大小
，an改变速度 v的方向， ，ρ为曲率圆半径。
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见
类型
过最高点的临 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得 v临＝0
v
F
Fτ
Fn
v
F
Fτ
Fn
界条件 对应最低点速度 v低≥
√
5gr
对应最低点速度 v低≥
√
4gr
绳不松不脱轨
条件
v低≥
√
5gr
或v低≤
√
2gr
不脱轨
最低点弹力
F低-mg =mv 低2/r
F低=mg+mv 低2/r
，
向上拉力
F低-mg =mv 低2/r
F低=mg+mv 低2/r
，
向上拉力
最高点弹力
过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨
道对球产生弹力 FN＝m-mg
向下压力
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持
力，随 v的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随
v的增大而增大
在最高
点的 FN
图线
取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题 1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为 A和最低点
记为 C，与原点等高的位置记为 B。圆周的半径为
R
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点 A 的向心力恰好等于重力时，由
mg=mv2
R
可得
v=
√
gR
①
对应 C点的速度有机械能守恒
mg 2R=1
2mvC
2−1
2mv A
2
得
②
当小球在 C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与 O点等高的 D位置则由机械能守恒
mgR=1
2mvc
2
得
vc=
√
2gR
③
小结：(1).当
vc>
√
5gR
时小球能通过最高点 A小球在 A点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律
FA+mg=mvA
2
R
④
(2).当
vc=
√
5gR
时小球恰能通过最高点 A小球在 A点受轨道的支持力为 0
由牛顿第二定律
mg=mvA
2
R
。⑤
(3).当
√
2gR<vc<
√
5gR
时小球不能通过最高点 A小球在 A点，上升至 DA 圆弧间的某一位向右做斜抛
运动离开圆周，且 v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为 0
在DA 段射重力与半径方向的夹角为
θ
则
mg cos θ=mv2
R
、
cos θ=h
R
(4).当
0<vc≤
√
2gR
时小球不能通过最高点 A上升至 CD 圆弧的某一位置速度减为 0之后沿圆弧返回。上
升的最高点为 C永不脱离轨道
【问题 2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点 A点静止释放的小球到达最低点 C：由机械能守恒
mg 2R=1
2mvC
2
在C点由牛顿运动定律：
FN−mg=mvC
2
R
得
FN=5mg
⑥
(2)从与 O等高的 D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点 C：由机械能守恒
mgR=1
2mvC
2
在C点由牛顿运动定律：
FN−mg=mvC
2
R
得
FN=3mg
⑦
(3)从A点以初速度
vA=
√
gR
释放小球到达最低点
由机械能守恒
mg 2R=1
2mvC
2−1
2mv A
2
在C点由牛顿运动定律：
FN−mg=mvC
2
R
得
FN=6mg
⑧
【模型演练 1】(2020·全国卷Ⅰ)如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为 10 m，该同学和
秋千踏板的总质量约为 50 kg，绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为 8
m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)
A. 200 N B. 400 N
C. 600 N D. 800 N
【答案】B　
【解析】：秋千运动至最低点时，重力和绳子的拉力的合力提供该同学做圆周运动所需的向心力。设每根
绳子的拉力为 FT，则 2FT－mg＝m，代入数据解得 FT＝410 N。故选 B。
【模型演练 2】(2021·东营模拟)如图所示，轻杆一端与一质量为 m的小球相连，另一端连在光滑固定轴上，
轻杆可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为
g。下列说法正确的是(　　)
A. 小球在运动过程中的任何位置对轻杆的作用力都不可能为 0
B. 当轻杆运动到水平位置时，轻杆对小球的拉力大小不可能等于 mg
C. 小球运动到最低点时，对轻杆的拉力可能等于 4mg
D. 小球运动到最低点时，对轻杆的拉力一定不小于 6mg
【答案】B　
【解析】：小球在轻杆的作用下做圆周运动，在最高点时，若 mg＝Fn，则小球对轻杆的作用力为 0，A错
误；假设当轻杆运动到水平位置时，轻杆对小球的拉力等于重力，则有 mg＝m，此时小球的动能为 mv＝
mgr，由机械能守恒定律可知，小球不可能运动到最高点，不能完成完整的圆周运动，假设不成立，B正
确；若小球恰能完成完整的圆周运动，则在最高点时，小球的速度为 0，在最低点时，小球的动能为
2mgr，则 F－mg＝m＝4mg，由牛顿第三定律，可知小球对轻杆的作用力最小为 5mg，C、D错误。
【模型演练 3】．(2020·重庆模拟)如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了
魔法一样，被称为“魔力陀螺”。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示。在竖直平面
内固定的强磁性圆轨道半径为 R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周
运动，所受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心 O且大小恒为 F，当质点以速率 v＝ 通过 A点时，对轨道的
压力为其重力的 8倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为 m，重力加速度为 g，则(　　)
摘要：

专题09竖直面内的圆周运动模型目录一．一般圆周运动的动力学分析........................................................................................................................1二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析................................................................................1三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论...........................

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