专题10 碰撞与类碰撞模型（解析版）

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专题 10 碰撞与类碰撞模型
目录
【模型一】弹性碰撞模型.....................................................................................................................................1
【模型二】非弹性碰撞、完全非弹性碰撞模型................................................................................................6
【模型三】碰撞模型三原则................................................................................................................................9
【模型四】小球—曲面模型...............................................................................................................................11
【模型五】小球—弹簧模型..............................................................................................................................14
【模型六】子弹打木块模型..............................................................................................................................20
【模型七】滑块木板模型...................................................................................................................................25
【模型一】弹性碰撞模型
1． 弹性碰撞
发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为 m1和m2，碰前速度为
v1，v2，碰后速度分别为 v1ˊ，v2ˊ，则有：
m1v1+m2v2=m1v1ˊ+m2v2ˊ (1)
m1v12+
m2v22=
m1v1ˊ2+
m2v2ˊ 2 (2)
联立（1）、（2）解得：
v1ˊ=
2m1v1+m2v2
m1+m2
−v1
，v2ˊ=
2m1v1+m2v2
m1+m2
−v2
.
特殊情况： 若 m1=m2 ，v1ˊ= v2 ，v2ˊ= v1 .
2． “动静相碰型”弹性碰撞的结论
两球 发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为 m1、速度为 v1的小球与质量为 m2的静止小
球发生正面弹性碰撞为例，则有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
解得：v1′＝，v2′＝
结论：(1)当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1(质量相等，速度交换)
(2)当m1＞m2时，v1′＞0，v2′＞0，且 v2′＞v1′(大碰小，一起跑)
(3)当m1＜m2时，v1′＜0，v2′＞0(小碰大，要反弹)
(4)当m1≫m2时，v1′＝v0，v2′＝2v1(极大碰极小，大不变，小加倍)
v1v2v1ˊv2ˊ
m1m2
(5)当m1≪m2时，v1′＝－v1，v2′＝0(极小碰极大，小等速率反弹，大不变)
【模型演练 1】.(2021·四川成都七中 5月测试)三个半径相同的弹性球，静止于光滑水平面的同一直线上，
顺序如图所示，已知 mA＝m，mC＝4m。当 A以速度 v0向B运动，若要使得 B、C碰后 C具有最大速度，则
B的质量应为(　　)
A．mB．2m
C．3mD．4m
【答案】B　
【解析】设 B球的质量为 M，以碰撞前 A球的速度方向为正，A球与 B球发生弹性碰撞，设碰撞后的速度
分别为 v1和v2，根据 A球与 B球动量守恒得 mv0＝mv1＋Mv2，由能量守恒定律得 mv＝mv＋Mv，解得 v2＝；
B球与 C球发生弹性碰撞，设碰撞后的速度分别为 v′2和v3，由能量守恒定律得 Mv＝Mv′＋×(4m)v，规定碰
撞前 A球的速度方向为正，由动量守恒定律得 Mv2＝Mv′2＋4mv3，解得 v3＝，故 C球碰撞后的速度为 v3＝·
＝，由数学关系解得 M＝＝2m时，B、C球碰撞后 C球的速度最大。
【模型演练 2】(2021·山东济南市历城二中一模)弹玻璃球是小朋友经常玩的一个游戏，小华在光滑水平桌
面上用一个质量为 3m的绿色弹珠以某一速度与前方静止的质量为 m的黄色弹珠发生弹性正碰，已知碰撞
前绿色弹珠的动能为 E，碰撞之后黄色弹珠的动能为（　　）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
发生弹性正碰，则有 ，
解得 黄色弹珠的动能为 故选 B。
【模型演练 3】（2021·福建省厦门双十中学高三上学期 11 月期中）如图所示，运动的球 A在光滑水平面
上与一个原来静止的球 B发生弹性碰撞，
A. 要使 B球获得最大动能，则应让 A,B 两球质量相等
B. 要使 B球获得最大速度，则应让 A球质量远大于 B球质量
C. 要使 B球获得最大动量，则应让 A球质量远小于 B球质量
D. 若A球质量远大于 B球质量，则 B球将获得最大动能、最大速度及最大动量
【答案】ABC
【解析】
设A球 的 质 量 为 、 B球 质 量 为 、 碰 前 A球 的 速 度 为 ， A与B发 生 弹 性 碰 撞 ， 则 ：
、 ，解得： 、 ．
A：据 ，当 A、B两球质量相等时，碰后 A的速度为零，B获得了 A碰前的全部动能，B
球获得了最大动能．故 A项正确．
B：据 ，当 A球质量远大于 B球质量时，B球获得最大速度，接近碰前 A速度的 2倍．故
B项正确．
C：据 ，当 A球质量远小于 B球质量时，A球几乎原速反弹，A球被弹回的速度最大，B
球获得了 A球初始动量的接近 2倍，B球获得最大动量．故 C项正确．
D：由上面三项分析知，D项错误．
【模型演练 4】（2021·山东省济宁市高三上学期 1月期末）如图所示，一水平轻弹簧右端固定在水平面右
侧的竖直墙壁上，质量为 M=2kg 的物块静止在水平面上的 P点，质量为 m=1 kg 的光滑小球以初速度
v0=3m/s 与物块发生弹性正碰，碰后物块向右运动并压缩弹簧，之后物块被弹回，刚好能回到 P点。不计
空气阻力，物块和小球均可视为质点。求：
(1)小球的最终速度；
(2)弹簧的最大弹性势能 Ep。
【答案】(1) 1m/s，方向水平向左；(2) 2J
【解析】
(1)规定向右为正方向，设小球与物块发生弹性正碰后瞬间小球的速度为 v1，物块的速度为 v2。碰撞前后小
球与物块系统动量守恒
碰撞前后瞬间小球与物块系统动能守恒
由以上两式解得
v1=- 1m/s
v2= 2m/s
小球的最终速度大小为 1m/s，方向水平向左；
(2)设物块碰后向右运动至回到 P点的全过程物块克服摩擦力做的功为W克
对全过程，由动能定理
碰后物块向右运动至速度为零的过程中，由动能定理得
解得
Ep=2J
【模型演练 5】(2020·河南名校联考)在光滑的水平面上，质量为 m1的小球 A以速率 v0向右运动．在小球的
前方 O点处有一质量为 m2的小球 B处于静止状态，如图 10 所示．小球 A与小球 B发生正碰后，小球 A、B
均向右运动．小球 B被在 Q点处的墙壁弹回后与小球 A在P点相遇，PQ＝1.5 PO.假设小球间的碰撞及小
球与墙壁之间的碰撞都是弹性碰撞，小球均可看成质点，求：
(1)两小球质量之比；
(2)若小球 A与小球 B碰后的运动方向以及小球 B反弹后与 A相遇的位置均未知，两小球 A、B质量满足什
么条件，就能使小球 B第一次反弹后一定与小球 A相碰．
【答案】　(1)2 1∶　(2)m1>
【解析】　(1)两球发生弹性碰撞，设碰后 A、B两球的速度分别为 v1、v2，规定向右为正方向，根据系统
动量守恒得 m1v0＝m1v1＋m2v2
已知小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞均无机械能损失，由机械能守恒定律得 m1v02＝m1v12＋m2v22
从两球碰撞后到它们再次相遇，甲和乙的速度大小保持不变，由于 PQ＝1.5PO，
则小球 A和B通过的路程之比为s1∶s2＝v1t∶v2t＝1 4∶，
联立解得＝
(2)由(1)中两式解得：v1＝v0，v2＝v0
若小球 A碰后静止或继续向右运动，一定与小球 B第一次反弹后相碰，此时有 v1≥0，即m1≥m2
若小球 A碰后反向运动，则 v1<0，此时m1<m2，则小球 A与B第一次反弹后相碰需满足|v1|<|v2|
即v0<v0
解得 m1>
综上所述，只要小球 A、B质量满足 m1>，就能使小球 B第一次反弹后一定与小球 A相碰．
【模型演练 6】（2021 届广东省河源市高三模拟）内壁光滑的圆环管道固定于水平面上，图为水平面的俯
视图。O为圆环圆心，直径略小于管道内径的甲、乙两个等大的小球（均可视为质点）分别静置于P、Q
处，PO⊥OQ，甲、乙两球质量分别为 m、km。现给甲球一瞬时冲量，使甲球沿图示方向运动，甲、乙两
球发生弹性碰撞，碰撞时间不计，碰后甲球立即向左运动，甲球刚返回到 P处时，恰好与乙球再次发生碰
撞，则（　　）
A．k= B．C．k=2 D．k=5
【答案】B
【解析】设甲球初速度为 v0，初始时两球间的弧长为l，则管道长为4l，设碰撞后甲、乙小球速度大小分别
为v1、v2，两球发生弹性碰撞，由动量守恒定律得 ，由机械能守恒得
，由于再次碰撞，则有 ， ，联立方程，解得 ，故选 B。
【模型二】非弹性碰撞、完全非弹性碰撞模型
1.非弹性碰撞
介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。
根据动量守恒定律可得：m1v1+m2v2=m1v1ˊ+m2v2ˊ (1)
损失动能 ΔEk，根据机械能守恒定律可得：
½m1v12+ ½ m2v22=
m1v1ˊ2+
m2v2ˊ 2 + ΔEk. (2)
2． 完全非弹性碰撞
碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得：
m1v1+m2v2=(m1+m2)v共 （1）
完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能：
ΔEk= ½m1v12+ ½ m2v22- ½(m1+m2)v 共2. （2）
联立（1）、（2）解得：v共 =
m1v1+m2v2
m1+m2
；ΔEk=
1
2
m1m2
m1+m2
(v1−v2)2
【模型演练 1】(2020·全国三卷15 题)甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与
乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示。已知甲的质量为 1 kg，则碰撞过程两
物块损失的机械能为(　　)
A．3 J B．4 J
C．5 J D．6 J
【答案】A
【解析】。根据图像，碰撞前甲、乙的速度分别为 v甲＝5.0 m/s，v乙＝1.0 m/s，碰撞后甲、乙的速度分别
为v甲′＝－1.0 m/s，v乙′＝2.0 m/s。碰撞过程中由动量守恒定律得 m甲v甲＋m乙v乙＝m甲v甲′＋
m乙v乙′，碰撞过程损失的机械能 ΔE＝m甲v甲2＋m乙v乙2－m甲v甲′2－m乙v乙′2，联立以上各
式解得 ΔE＝3 J。
【模型演练 2】(多选)(2021·银川模拟)A、B两球沿一直线运动并发生正碰，如图所示为两球碰撞前、后的
位移随时间变化的图象，a、b分别为 A、B两球碰前的位移随时间变化的图线，c为碰撞后两球共同运动
的位移随时间变化的图线，若 A球质量是 m＝2 kg，则由图象判断下列结论正确的是 (　　)
A．碰撞前、后 A球的动量变化量为 4 kg·m/s
B．碰撞时 A球对B球所施的冲量为－4 N·s
C．A、B两球碰撞前的总动量为 3 kg·m/s
D．碰撞中 A、B两球组成的系统损失的动能为 10 J
【答案】ABD
【解析】根据题图可知，碰前 A球的速度 vA＝－3 m/s，碰前 B球的速度 vB＝2 m/s，碰后 A、B两球共同的
速度 v＝－1 m/s，故碰撞前、后 A球的动量变化量为 ΔpA＝mv－mvA＝4 kg·m/s，选项 A正确；A球的动量
v1v2v共
m1m2
变化量为 4 kg·m/s，碰撞过程中动量守恒，B球的动量变化量为－4 kg·m/s，根据动量定理，碰撞过程中A
球对B球所施的冲量为－4 N·s，选项 B正确；由于碰撞过程中动量守恒，有 mvA＋mBvB＝(m＋mB)v，解得
mB＝ kg，故碰撞过程中A、B两球组成的系统损失的动能为 ΔEk＝mv＋mBv－(m＋mB)v2＝10 J，选项 D正
确；A、B两球碰撞前的总动量为 p＝mvA＋mBvB＝(m＋mB)v＝－ kg·m/s，选项 C错误。
【模型演练 3】（2021·吉林省榆树一中高三上学期 1月期末）如图，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端
与水平桌面相切，小滑块 A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速度释放，A与B碰
撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知 A的质量 mA=1kg，B的质量 mB=2kg，圆弧轨道的半径
R=0.45m，圆弧轨道光滑，A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ=0.2，取重力加速度 g=10m/s2
(1)求碰撞前瞬间 A的速率 v；
(2)求碰撞后瞬间 A和B整体的速率 和碰撞过程中A、B系统损失的机械能 E损；
(3)A 和B整体在桌面上滑动的距离 L。
【答案】(1) ；(2) ；3J；(3)
【解析】
(1)对A，从释放→碰撞前，由动能定理得
解得
(2)对A、B组成的系统，在碰撞过程中，由动量守恒得
解得
碰撞之前的机械能为
摘要：

专题10碰撞与类碰撞模型目录【模型一】弹性碰撞模型.....................................................................................................................................1【模型二】非弹性碰撞、完全非弹性碰撞模型................................................................................................6【模型三】碰撞模型三原则...............

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