专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型（解析版）

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专题 15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型
目录
一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述.......................................................................1
二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型....................................................................................................2
三．平行边界磁场模型.........................................................................................................................................7
四．圆形边界磁场模型.......................................................................................................................................10
五．环形磁约束模型...........................................................................................................................................16
六．三角形或四边形边界磁场模型..................................................................................................................20
七．数学圆模型在电磁学中的应用..................................................................................................................24
模型一　“放缩圆”模型的应用..............................................................................................................24
模型二　“旋转圆”模型的应用..............................................................................................................27
模型三　“平移圆”模型的应用..............................................................................................................31
模型四  “磁聚焦”模型..........................................................................................................................32
一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述
基本思路 图例 说明
圆心的确定
① 与速度方向垂直的
直线过圆心②弦的垂
直平分线过圆心③轨
迹圆弧与边界切点的
法线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平
分线交点
某点的速度垂线与切点法线
的交点
半径的确定
利用平面几何知识求
半径
常用解三角形法：例：(左
图)
R＝或由 R2＝L2＋(R－d)2求
得R＝

运动时间的确定

利用轨迹对应圆心角 θ

或轨迹长度 L求时间

①t＝T

②t＝

(1)速度的偏转角 φ等于

所对的圆心角 θ

(2)偏转角 φ与弦切角 α的关

系： φ<180° 时， φ＝2α；

φ>180°时，φ＝360°－2α

二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型

【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)

图a中粒子在磁场中运动的时间 t＝＝

图b中粒子在磁场中运动的时间 t＝(1－)T＝(1－)＝

图c中粒子在磁场中运动的时间 t＝T＝

【模型演练 1】.(2020·贵州贵阳市四校联考)在如图所示的 xOy 平面的第一象限内，存在着垂直纸面向里、

磁感应强度分别为 B1、B2的两个匀强磁场(图中未画出)．Oa 是两磁场的边界，且与 x轴的夹角为 45°.一不

计重力、带正电的粒子从坐标原点 O沿x轴正向射入磁场．之后粒子在磁场中的运动轨迹恰与 y轴相切但

未离开磁场．则两磁场磁感应强度的比值为(　　)

A.＝ B.＝

C.＝ D.＝

【答案】　C

【解析】　设带电粒子在 B1中运动的半径为 R1，在 B2中运动的半径为 R2，根据条件作出粒子的运动轨迹

如图所示，

由图中几何关系可知 R1＝2R2，根据 qvB＝m可得＝＝，故 C正确，A、B、D错误．

【模型演练 2】(2020·吉林长春市六中 3月线上测试)如图所示，在 0≤x≤3a的区域内存在与 xOy 平面垂直的

匀强磁场，磁感应强度大小为 B.在t＝0时刻，从原点 O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与 y

轴正方向的夹角分布在 0°～90°范围内．其中，沿 y轴正方向发射的粒子在 t＝t0时刻刚好从磁场右边界上

P(3a，a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是(　　)

A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 3a

B．粒子的发射速度大小为

C．带电粒子的比荷为

D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为 2t0

【答案】　D

【解析】　沿 y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示：

设粒子运动的轨迹半径为 r，根据几何关系有(3a－r)2＋(a)2＝r2，可得粒子在磁场中做圆周运动的半径 r＝

2a，选项 A错误；根据几何关系可得 sin θ＝＝，所以 θ＝，圆弧 OP 的长度 s＝(π－θ)r，所以粒子的发射速

度大小 v＝＝，选项 B错误；根据洛伦兹力提供向心力有 qvB＝m，结合粒子速度以及半径可得带电粒子的

比荷＝，选项 C错误；当粒子轨迹恰好与磁场右边界相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，粒子轨迹如

图乙所示，粒子与磁场边界相切于 M点，由几何关系可知，从 E点射出．设从 P点射出的粒子转过的圆心

角为 π－θ，时间为 t0，则从 E点射出的粒子转过的圆心角为 2(π－θ)，故带电粒子在磁场中运动的最长时间

为2t0，选项 D正确．

【典例分析 3】(2020·全国卷Ⅱ·24)如图，在 0≤x≤h，－∞<y<＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，

磁感应强度 B的大小可调，方向不变．一质量为 m，电荷量为 q(q>0)的粒子以速度 v0从磁场区域左侧沿 x

轴进入磁场，不计重力．

(1)若粒子经磁场偏转后穿过 y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的

最小值 Bm；

(2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与 x轴

正方向的夹角及该点到 x轴的距离．

【答案】　见解析

【解析】　(1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里．设

粒子进入磁场中做圆周运动的半径为 R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有

qv0B＝m①

由此可得 R＝②

粒子穿过 y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在 y轴正半轴上，半径应满足 R≤h③

由题意，当磁感应强度大小为 Bm时，粒子穿过 y轴正半轴离开磁场时的运动半径最大，由此得

Bm＝④

(2)若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为 R′＝

2h⑤

粒子会穿过图中 P点离开磁场，运动轨迹如图所示．设粒子在 P点的运动方向与 x轴正方向的夹角为 α，

由几何关系 sin α＝＝⑥

即α＝⑦

由几何关系可得，P点与 x轴的距离为

y＝2h(1－cos α)⑧

联立⑦⑧式得y＝(2－)h.

【模型演练 4】(2020·湖北宜昌市四月调研)如图所示，直线 MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子 1

从磁场边界上的 a点垂直 MN 和磁场方向射入磁场，经 t1时间从 b点离开磁场．之后电子 2也由a点沿图示

方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经 t2时间从 a、b连线的中点 c离开磁场，则为(　　)

A．3 B．2 C. D.

【答案】A

【解析】电子 1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示：

电子 1垂直边界射进磁场，从 b点离开，则运动了半个圆周，ab 即为直径，c点为圆心，电子 2以相同速

率垂直磁场方向射入磁场，经 t2时间从 a、b连线的中点 c离开磁场，根据半径 r＝可知，电子 1和2的半

径相等，根据几何关系可知，△aOc 为等边三角形，则电子 2转过的圆心角为 60°，所以电子 1运动的时间

t1＝＝，电子 2运动的时间 t2＝＝，所以＝3，故 A正确，B、C、D错误．

【模型演练 5】（2021 届云南省昆明市高三（上）三诊一模摸底诊断测试理综物理试题）如图所示，虚线

上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，下方存在方向相同、磁感应强度大小

为的匀强磁场，虚线为两磁场的分界线。位于分界线上，点为的中点。一电

子从点射入磁场，速度方向与分界线的夹角为，电子离开点后依次经两点回到点。

已知电子的质量为，电荷量为，重力不计，求：

(1) 的值；

(2)电子从射入磁场到第一次回到点所用的时间。

【答案】(1) ；(2)

【解析】

电子在磁场中的运动轨迹如图所示

设电子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径分别为，电子在磁场中做匀速圆周运动有

…①

…②

由于最终能回到点，由几何关系，可得

…③

联立①②③，解得

电子在磁场中的运动周期

设电子经过三段轨迹的时间分别为，由几何关系可得

到的圆心角为，则

电子从射入磁场到第一次回到点所用的时间为

联立以上式子，解得

三．平行边界磁场模型

【运动模型】

平行边界存在临界条件，图 a中粒子在磁场中运动的时间 t1＝，t2＝＝

图b中粒子在磁场中运动的时间 t＝

图c中粒子在磁场中运动的时间

t＝(1－)T＝(1－)＝

图d中粒子在磁场中运动的时间 t＝T＝

【模型演练 1】.(多选)(2020·辽宁沈阳市第一次质检)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度 va和vb射入匀

强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为 60°和30°，磁场宽度为 d，两粒子同时由 A点出发，

同时到达B点，如图所示，则(　　)

A．a粒子带正电，b粒子带负电

B．两粒子的轨道半径之比 Ra∶Rb＝∶1

C．两粒子的质量之比 ma∶mb＝1∶2

D．两粒子的质量之比 ma∶mb＝2∶1

【答案】　BD

【解析】　由左手定则可得：a粒子带负电，b粒子带正电，故 A错误；粒子做匀速圆周运动，运动轨迹

如图所示

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摘要：

专题15带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型目录一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述.......................................................................1二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型....................................................................................................2三．平行边界磁场模型...............................................

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