专题16 带电粒子在组合场、复合场中的运动模型（解析版）

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专题 16 带电粒子在组合场、复合场中的运动模型
目录
一.带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法综述...................................................................................1
二．磁场与磁场的组合模型................................................................................................................................1
三．先电场后磁场模型.........................................................................................................................................6
四．先磁场后电场模型.......................................................................................................................................14
五．带电粒子在组合场中运动的应用---质谱仪模型......................................................................................19
六．带电粒子在组合场中运动的应用---回旋加速器模型..............................................................................25
七．带电粒子在叠加场中的运动模型..............................................................................................................29
八．带电粒子在叠加场中的应用模型---电磁平衡科技应用..........................................................................39
模型一．速度选择器...................................................................................................................................39
模型二．磁流体发电机..............................................................................................................................40
模型三．电磁流量计...................................................................................................................................42
模型四.霍尔效应的原理和分析.................................................................................................................44
一.带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法综述
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．
2．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段．
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示．
第3步：用规律
二．磁场与磁场的组合模型
【运动模型】磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的
速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线
的特点，进一步寻找边角关系．
【模型演练 1】(2021·韶关模拟)如图所示，在无限长的竖直边界 AC 和DE 间，上、下部分分别充满方向垂
直于平面 ADEC 向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为 B0，OF 为上、下磁场的水平分界线。
质量为 m、带电荷量为＋q的粒子从 AC 边界上与 O点相距为 a的P点垂直于 AC 边界射入上方磁场区域，
经OF 上的 Q点第一次进入下方磁场区域，Q点与 O点的距离为 3a。不考虑粒子重力。
(1)求粒子射入时的速度大小；
(2)要使粒子不从 AC 边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度大小 B1应满足的条件；
(3)若下方区域的磁感应强度 B＝3B0，粒子最终垂直 DE 边界飞出，求边界 DE 与AC 间距离的可能值。
【答案】：(1)　(2)B1≥　(3)4na(n＝1，2，3，…)
【解析】：(1)粒子在 OF 上方的运动轨迹如图所示，
设粒子做圆周运动的半径为 R，由几何关系可知 R2－(R－a)2＝(3a)2，则 R＝5a
由牛顿第二定律可知 qvB0＝m
解得 v＝。
(2)当粒子恰好不从 AC 边界飞出时，其运动轨迹如图所示，设粒子在 OF 下方做圆周运动的半径为 r1。
由几何关系得 r1＋r1cos θ＝3a，cos θ＝，所以 r1＝，根据 qvB1＝，解得 B1＝
故B1≥ 时，粒子不会从 AC 边界飞出。
(3)当B＝3B0时，粒子的运动轨迹如图所示，粒子在 OF 下方的运动半径为 r＝a，设粒子的速度方向再次与
射入磁场时的速度方向一致时，粒子的位置为 P1 点，则 P点与 P1 点的连线一定与 OF 平行，根据几何关
系知 PP1＝4a，所以若粒 子 最 终垂 直 DE 边 界 飞 出， 边 界 DE 与AC 间 的 距离为 L＝nPP1＝4na(n＝
1，2，3，…)。
【模型演练 2】(2020·江苏卷·16)空间存在两个垂直于 Oxy 平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应
强度分别为 2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点 O沿x轴正向射入磁场，速度均为 v.甲第 1次
第2次经过 y轴的位置分别为 P、Q，其轨迹如图所示．甲经过 Q时，乙也恰好同时经过该点．已知甲的质
量为 m，电荷量为 q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响．求：
(1)Q到O的距离 d；
(2)甲两次经过 P点的时间间隔 Δt；
(3)乙的比荷可能的最小值．
【答案】　(1)　(2)　(3)
【解析】　(1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为 r1、r2
由qvB＝m可知 r＝，
故r1＝，r2＝
且d＝2r1－2r2
解得 d＝
(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t1、t2
由T＝＝得 t1＝，t2＝
且Δt＝2t1＋3t2
解得 Δt＝
(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为 n(n＝1,2,3，…)
相遇时，有 n＝d，n＝t1＋t2
解得＝n
根据题意，n＝1舍去．
当n＝2时，有最小值，()min＝
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n＋1)、n(n＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相遇．
综上分析，乙的比荷的最小值为.
【典例分析 3】(2017·全国卷Ⅲ·24)如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy 平面)向里的磁场．在 x≥0 区域，
磁感应强度的大小为 B0；x＜0区域，磁感应强度的大小为 λB0(常数 λ＞1)．一质量为 m、电荷量为 q(q＞0)
的带电粒子以速度 v0从坐标原点 O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿 x轴正
向时，求：(不计重力)
(1)粒子运动的时间；
(2)粒子与 O点间的距离．
【答案】　(1)(1＋)　(2)(1－)
【解析】　(1)在匀强磁场中，带电粒子做匀速圆周运动．设在 x≥0 区域，圆周半径为 R1；在 x＜0区域，
圆周半径为 R2.由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得
qB0v0＝m①
qλB0v0＝m②
设粒子在 x≥0 区域运动的时间为 t1，则
t1＝③
粒子在 x<0 区域运动的时间为 t2，则
t2＝④
联立①②③④式得，所求时间为
t＝t1＋t2＝(1＋)⑤
(2)由几何关系及①②式得，所求距离为
d＝2(R1－R2)＝(1－)
【模型演练 4】（2021 届云南省昆明市高三（上）三诊一模摸底诊断测试理综物理试题 ）如图所示，虚线
上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为 的匀强磁场 ，下方存在方向相同、磁感应强度大小
为 的匀强磁场 ，虚线 为两磁场的分界线。 位于分界线上，点 为 的中点。一电
子从 点射入磁场 ，速度方向与分界线 的夹角为 ，电子离开点后依次经 两点回到 点。
已知电子的质量为 ，电荷量为 ，重力不计，求：
(1) 的值；
(2)电子从射入磁场到第一次回到 点所用的时间。
【答案】(1) ；(2)
【解析】
电子在磁场中的运动轨迹如图所示
设电子在匀强磁场 中做匀速圆周运动的半径分别为 ，电子在磁场中做匀速圆周运动有
…①
…②
由于最终能回到 点，由几何关系，可得
…③
联立①②③，解得
电子在磁场 中的运动周期
电子在磁场 中的运动周期
设电子经过三段轨迹的时间分别为 ，由几何关系可得
到 的圆心角为 ，则
到 的圆心角为 ，则
到 的圆心角为 ，则
电子从射入磁场到第一次回到 点所用的时间为
联立以上式子，解得
三．先电场后磁场模型
【运动模型】
1.带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图.
2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图.
【模型演练 1】.(2019·江苏南京市六校联考)如图所示，在矩形区域 ABCD 内存在竖直向上的匀强电场，在
BC 右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，虚线L1、L2、L3是磁场的边界线(BC 与L1重合)，宽度相同，方向如
图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为 B1.一电荷量为＋q、质量为 m的粒子(重力不计)从AD 边中点以初速度
v0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从 B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与 B点同一水平高度处进入
区域Ⅱ.已知 AB 长度是 BC 长度的倍．
(1)求带电粒子到达B点时的速度大小；
(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度 B2的最小值．
【答案】　(1)　(2)　(3)1.5B1
【解析】　(1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为 v，与水平方向成 θ角，粒子在匀强电场中做类平抛运
动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有：tan θ＝＝，则 θ＝30°，根据速度关系有：v＝＝；
(2)设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为 r1，由牛顿第二定律得：qvB1＝m，轨迹如图甲所示：
由几何关系得：L＝r1
解得：L＝；
(3)当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长．设区域Ⅱ中最小磁感应强度为
B2m，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为 r2，轨迹如图乙所示：
同理得：qvB2m＝m
根据几何关系有：L＝r2(1＋sin θ)
解得：B2m＝1.5B1.
【模型演练 2】(2020·湖南长沙模拟)如图，在直角三角形OPN 区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为
B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于 x轴的方向射入磁场；
一段时间后，该粒子在 OP 边上某点以垂直于 x轴的方向射出．已知 O点为坐标原点，N点在 y轴上，OP
与x轴的夹角为 30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为 d，不计重力．求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．
【答案】　(1)　(2)
【解析】　(1)设带电粒子的质量为 m，电荷量为 q，加速后的速度大小为 v.由动能定理有 qU＝mv2①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 r，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，结合牛顿第二定律
有qvB＝m②
由几何关系知 d＝r③
联立①②③式得＝④
(2)由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到 x轴所经过的路程为s＝＋rtan 30°⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为 t＝⑥
联立②④⑤⑥式得t＝⑦
【模型演练 4】.（2021 届广东省东莞市高三模拟）如图所示，在 xOy 平面内，MN 与y轴平行，间距为 d，
其间有沿 x轴负方向的匀强电场 E。y轴左侧有宽为L的垂直纸面向外的匀强磁场，MN 右侧空间存在范围
足够宽、垂直纸面的匀强磁场（图中未标出）。质量为 m、带电量为+q的粒子从 P（d，0）沿x轴负方向
以大小为 v0的初速度射入匀强电场。粒子到达O点后，经过一段时间还能再次回到 O点。已知电场强度
E=，粒子重力不计。
(1)求粒子到 O点的速度大小；
(2)求y轴左侧磁场区域磁感应强度 B1的大小应满足什么条件？
(3)若满足(2)的条件，求 MN 右侧磁场的磁感应强度 B2和y轴左侧磁场区域磁感应强度 B1的大小关系。
【答案】（1）；（2）；（3），n=l，2，3……
【解析】(1)粒子，从 P点到 O点，由动能定理得
可得粒子到
(2)洛伦兹力提供向心力
粒子要再次回到 O点，则粒子不能从 y轴左侧的磁场射出，需要返回磁场，经过电场和 MN 右侧的磁场的
作用，再次返回到 O点，故要求：
故要求
(3) 粒子通过电场回到 MN 右侧磁场时速度为 。设粒子在右侧磁场中轨道半径为 R，要使其能够回到原点，
粒子在右侧磁场中应向下偏转，且偏转半径 R≥r。
解得
①当R=r
，
，可得
②R>r，要使粒子回到原点（粒子轨迹如下图所示）
则须满足
摘要：

专题16带电粒子在组合场、复合场中的运动模型目录一.带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法综述...................................................................................1二．磁场与磁场的组合模型................................................................................................................................1三．先电场后磁场模型....................

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