专题20 电磁感应中的双导体棒和线框模型（解析版）

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专题 20 电磁感应中的双导体棒和线框模型

一. 无外力等距双导体棒模型..............................................................................................................................1

二．有外力等距双导体棒模型............................................................................................................................8

三．不等距导轨双导体棒模型..........................................................................................................................12

四．线框模型.......................................................................................................................................................17

一.无外力等距双导体棒模型

【模型如图】

1．电路特点

棒2相当于电源；棒 1受安培力而加速起动,运动后产生反电动势.

2．电流特点：

I=Blv 2−BLv1

R1+R2

=Bl (v2−v1)

R1+R2

随着棒 2的减速、棒 1的加速，两棒的相对速度

v2−v1

变小，回路中电流也变小。

v1=0

时：电流最大，

I=Blv0

R1+R2

。

v1=v2

时：电流　

I=0

3．两棒的运动情况

安培力大小：

F安=BIl=B2L2(v2−v1)

R1+R2

两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小.棒1做加速度变小的加速运动，棒 2做加速度变小的减速

运动，最终两棒具有共同速度。

4．两个规律

(1)动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反,系统合外力为零,

系统动量守恒.

m2v0=(m1+m2)v共

(2)能量转化规律：系统机械能的减小量等于内能的增加量.（类似于完全非弹性碰撞）

Q=1

2m2v0

2−1

2(m1+m2)v共

两棒产生焦耳热之比：

=R1

；

Q=Q1+Q2

5．几种变化：

(1)初速度的提供方式不同 (2)磁场方向与导轨不垂直 (3)两棒都有初速度（两棒动量守恒吗？）

(4)两棒位于不同磁场中（两棒动量守恒吗？）

【模型演练 1】(多选)(2021·山东临沂市上学期期末)如图所示，水平面上有相距为 L的两光滑平行金属导轨，

导轨上静止放置着金属杆 a和b(杆a、b均与导轨垂直)，两杆均位于匀强磁场的左侧，让杆 a以速度 v向右

运动，当杆 a与杆 b发生弹性碰撞后，两杆先后进入右侧的磁场中，当杆 a刚进入磁场时，杆 b的速度刚

好为 a的一半．已知杆 a、b的质量分别为 2m和m，接入电路的电阻均为 R，其他电阻忽略不计，设导轨

足够长，磁场足够大，则(　　)

A．杆 a与杆 b碰撞后，杆 a的速度为，方向向右

B．杆 b刚进入磁场时，通过 b的电流为

C．从 b进入磁场至 a刚进入磁场时，该过程产生的焦耳热为 mv2

D．杆 a、b最终具有相同的速度，大小为

【答案】　ABC

【解析】　以向右为正方向，杆 a与杆 b发生弹性碰撞，由动量守恒和机械能守恒得 2mv＝2mv1＋

mv2，×2mv2＝×2mv12＋×mv22，解得 v1＝，v2＝v，即杆 a的速度为，方向向右，故 A正确；杆 b刚进入磁场

时，通过 b的电流为 I＝＝，故 B正确；从 b进入磁场至 a刚进入磁场时，由能量守恒得该过程产生的焦耳

热为 Q＝mv22－m2＝mv2，故 C正确；a进入磁场后，a、b组成的系统，动量守恒，则有 2mv1＋m·v1＝(2m

＋m)v3，解得 v3＝v，即杆 a、b最终具有相同的速度，大小为 v，故 D错误．

【模型演练 2】(2020·浙江 Z20 联盟联考)如图所示，水平放置的两根平行光滑金属导轨固定在平台上，导

轨间距为 1 m，处在磁感应强度为 2 T、竖直向下的匀强磁场中，平台离地面的高度为 h＝3.2 m，初始时刻，

质量为 2 kg 的杆 ab 与导轨垂直且处于静止状态，距离导轨边缘为 d＝2 m，质量同为 2 kg 的杆 cd 与导轨垂

直，以初速度 v0＝15 m/s 进入磁场区域，最终发现两杆先后落在地面上．已知两杆接入电路的电阻均为 r＝

1 Ω，导轨电阻不计，两杆落地点之间的距离 s＝4 m(整个过程中两杆始终不相碰)．

(1)求ab 杆从磁场边缘射出时的速度大小；

(2)当ab 杆射出时求 cd 杆运动的距离；

(3)在两根杆相互作用的过程中，求回路中产生的电能．

【答案】　(1)5 m/s　(2)7 m　(3)100 J

【解析】　(1)设ab、cd 杆从磁场边缘射出时的速度分别为 v1、v2

设ab 杆落地点到平台边缘的水平位移为 x，cd 杆落地点到平台边缘的水平位移为 x＋s，则有 x＝v1

x＋s＝v2

根据动量守恒定律得：mv0＝mv1＋mv2，

解得：v1＝5 m/s，v2＝ 10 m/s

(2)ab 杆运动距离为 d，对 ab 杆应用动量定理得：BILΔt＝BLq＝mv1

设cd 杆运动距离为 d＋Δx，q＝＝

解得 Δx＝

cd 杆运动距离为 d＋Δx＝d＋＝7 m

(3)根据能量守恒，电路中产生的焦耳热等于系统损失的机械能

Q＝mv02－mv12－mv22＝100 J.

【模型演练 3】(2021·湖南常德市高三一模)如图所示，两根间距为 l的光滑金属导轨(不计电阻)，由一段圆

弧部分与一段无限长的水平部分组成，其水平部分加有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为 B，导轨水平

部分静止放置一金属棒 cd，质量为 2m，电阻为 2r.另一质量为 m，电阻为 r的金属棒 ab，从圆弧部分M处

由静止释放下滑至 N处进入水平部分，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧部分MN 半径为R，所对圆心

角为60°，重力加速度为 g.求：

(1)ab 棒在 N处进入磁场区速度是多大？此时棒中电流是多少？

(2)cd 棒能达到的最大速度是多大？

(3)cd 棒由静止到最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？

【答案】　(1)　　(2)　(3)mgR

【解析】　(1)ab 棒由 M下滑到 N过程中机械能守恒，故

mgR(1－cos 60°)＝mv2

解得 v＝

进入磁场区瞬间，回路中电流

I＝＝

(2)ab 棒在安培力作用下做减速运动，cd 棒在安培力作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度 v′时，电

路中电流为零，安培力为零，cd 棒达到最大速度．ab、cd 两棒组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得

mv＝(2m＋m)v′，

解得 v′＝

(3)系统释放的热量应等于系统机械能的减少量，

故Q＝mv2－·3mv′2

解得 Q＝mgR

【模型演练 4】(2020·山东济宁市一模)两根足够长的平行金属导轨固定于同一水平面内，两导轨间的距离

为L，导轨上垂直放置两根导体棒 a和b，俯视图如图甲所示．两根导体棒的质量均为 m，电阻均为 R，回

路中其余部分的电阻不计，在整个导轨平面内，有磁感应强度大小为 B、竖直向上的匀强磁场．两导体棒

与导轨接触良好且均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，两棒均静止，间距为 x0，现给导体棒 a一向右的初

速度 v0，并开始计时，可得到如图乙所示的 Δv－t图象(Δv表示两棒的相对速度，即 Δv＝va－vb)，求：

(1)0～t2时间内，回路产生的焦耳热；

(2)t1时刻，棒 a的加速度大小；

(3)t2时刻，两棒之间的距离．

【答案】　(1)mv02　(2)　(3)x0＋

【解析】　(1)t2时刻，两棒速度相等

以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得 mv0＝(m＋m)v

由能量守恒定律得 Q＝mv02－×2mv2

联立解得 Q＝mv02

(2)t1时刻，回路中的感应电动势 E＝BLva－BLvb＝BLΔv＝

此时棒 a所受的安培力大小 F＝BIL＝BL

由牛顿第二定律可得F＝ma

则棒 a的加速度大小 a＝

(3)t2时刻，两棒速度相同，由(1)知v＝

0～t2时间内，对棒 b由动量定理有

BLt2＝mv－0

又q＝t2＝＝

联立解得 x＝x0＋.

【模型演练 5】(2020·辽宁部分重点中学协作体模拟)如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强

度B＝0.5 T．在匀强磁场区域内，有一对光滑平行金属导轨，处于同一水平面内，导轨足够长，导轨间距

L＝1 m，电阻可忽略不计．质量均为 m＝1 kg，电阻均为 R＝2.5 Ω 的金属导体棒 MN 和PQ 垂直放置于导

轨上，且与导轨接触良好．先将PQ 暂时锁定，金属棒 MN 在垂直于棒的拉力F作用下，由静止开始以加

速度 a＝0.4 m/s2向右做匀加速直线运动，5 s 后保持拉力F的功率不变，直到棒以最大速度 vm做匀速直线

运动．

(1)求棒 MN 的最大速度 vm；

(2)当棒 MN 达到最大速度 vm时，解除PQ 锁定，同时撤去拉力F，两棒最终均匀速运动．求解除PQ 棒锁

定后，到两棒最终匀速运动的过程中，电路中产生的总焦耳热．

(3)若PQ 始终不解除锁定，当棒 MN 达到最大速度 vm时，撤去拉力F，棒 MN 继续运动多远后停下来？(运

算结果可用根式表示)

【答案】　(1)2 m/s　(2)5 J　(3)40 m

【解析】　(1)棒MN 做匀加速运动，由牛顿第二定律得：F－BIL＝ma

棒MN 做切割磁感线运动，产生的感应电动势为：E＝BLv

棒MN 做匀加速直线运动，5 s 时的速度为：v＝at1＝2 m/s

在两棒组成的回路中，由闭合电路欧姆定律得：I＝

联立上述式子，有：F＝ma＋

代入数据解得：F＝0.5 N

5 s 时拉力F的功率为：P＝Fv

代入数据解得：P＝1 W

棒MN 最终做匀速运动，设棒最大速度为 vm，棒受力平衡，则有：－BImL＝0

Im＝

代入数据解得：vm＝2 m/s

(2)解除棒PQ 后，两棒运动过程中动量守恒，最终两棒以相同的速度做匀速运动，设速度大小为 v′，则有：

mvm＝2mv′

设从 PQ 棒解除锁定，到两棒达到相同速度，这个过程中，两棒共产生的焦耳热为 Q，由能量守恒定律可

得：Q＝mv－×2mv′2

代入数据解得：Q＝5 J；

(3)棒以 MN 为研究对象，设某时刻棒中电流为 i，在极短时间△t内，由动量定理得：－BiL△t＝m△v

对式子两边求和有：∑(－BiLΔt)＝∑(mΔvm)

而△q＝i△t

对式子两边求和，有：∑Δq＝∑(iΔt)

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摘要：

专题20电磁感应中的双导体棒和线框模型目录一.无外力等距双导体棒模型..............................................................................................................................1二．有外力等距双导体棒模型............................................................................................................................8三...

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