专题19 电磁感应中的单导体棒模型（解析版）

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专题 19 电磁感应中的单导体棒模型

一. 阻尼式单导体棒模型.......................................................................................................................................1

二．发电式单导体棒模型.....................................................................................................................................7

三．无外力充电式单导体棒模型......................................................................................................................14

四．无外力放电式单导体棒模型......................................................................................................................16

五．有外力充电式单导体棒模型......................................................................................................................18

六．含“源”电动式模型...................................................................................................................................24

一.阻尼式单导体棒模型

【模型如图】

1．电路特点：导体棒相当于电源。当速度为

时，电动势

E=BLv

2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小：

F安=BIL=B2L2v

R+r∝v

3．加速度特点：加速度随速度减小而减小,

a=B2L2v

m(R+r)+μg

4．运动特点：速度如图所示。a减小的减速运动

5．最终状态:静止

6．四个规律

(1)全过程能量关系：

−μ mgx−Q=0−1

2mv0

速度为

时的能量关系

−μ mgx−Q=1

2mv2−1

2mv0

电阻产生的焦耳热

Q=R

R+r

(2)瞬时加速度：

a=B2L2v

m(R+r)+μg

，

(3)电荷量

q=¯

I Δt=¯

R+rΔt=Δφ

Δt (R+r)Δt=Δφ

R+r

(4)动量关系：

μ mg Δt −B¯

I LΔt=μ mg Δt−BqL=0−mv0

(安培力的冲量

F Δt =B¯

I LΔt=BqL

)

安培力的冲量公式是

μ mg Δt −B¯

I LΔt=0−mv0

①

闭合电路欧姆定律

I=¯

R+r

②

平均感应电动势：

E=BL { ¯

v¿

③

位移：

x=¯

v t

④

①②③④ 得

μ mg Δt +B2L2x

R+r=mv0

【模型演练 1】(多选)(2020·新疆克拉玛依三模)如图所示，在水平面上固定两条足够长的平行光滑金属导轨，

导轨间连接电阻为 R(其余电阻不计)，导轨间距为 L，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向下，磁感应强度大

小为 B；已知金属杆 MN 质量为 m，与导轨接触良好．当金属杆以初速度 v0向右滑动，在运动过程中(　　)

A．金属杆 MN 将做匀减速运动

B．金属杆 MN 的最大加速度为

C．电阻 R总共产生的电热为 mv

D．感应电流通过金属杆的方向由 M流向 N

【答案】BC

【解析】　金属杆 MN 向右运动时切割磁感线产生感应电流，受到向左安培力而做减速运动，由 a＝＝可

知，随速度的减小，加速度减小，则金属杆将做加速度减小的变减速运动，且开始运动时加速度最大，最

大值为 am＝，选项 A错误，B正确；整个过程中金属棒的动能转化为电热，即电阻 R总共产生的电热为

mv，选项 C正确；根据右手定则可知，感应电流通过金属杆的方向由 N流向 M，选项 D错误；故选

B、C．

【模型演练 2】(多选)(2021·福建福清市线上检测)如图所示，左端接有阻值为 R的定值电阻且足够长的平行

光滑导轨 CE、DF 的间距为 L，导轨固定在水平面上，且处在磁感应强度为 B、竖直向下的匀强磁场中，

一质量为 m、电阻为 r的导体棒 ab 垂直导轨放置在导轨上静止，导轨的电阻不计．某时刻给导体棒 ab 一

个水平向右的瞬时冲量 I，导体棒将向右运动，最后停下来，则此过程中(　　)

A．导体棒做匀减速直线运动直至停止运动

B．电阻 R上产生的焦耳热为

C．通过导体棒 ab 横截面的电荷量为

D．导体棒 ab 运动的位移为

【答案】　CD

【解析】　导体棒获得向右的瞬时初速度后切割磁感线，回路中出现感应电流，导体棒 ab 受到向左的安培

力，向右减速运动，由＝ma，可知由于导体棒速度减小，则加速度减小，所以导体棒做的是加速度越来越

小的减速运动，A错误；导体棒减少的动能 Ek＝mv2＝m2＝，根据能量守恒定律可得 Ek＝Q总，又根据串并

联电路知识可得 QR＝Q总＝，B错误；根据动量定理可得－BLΔt＝0－mv，I＝mv，q＝Δt，可得 q＝，C正

确；

由于 q＝Δt＝Δt＝

将q＝代入可得，导体棒 ab 运动的位移 x＝，D正确．

【模型演练 3】(多选)(2021·湖南常德市高三二模)如图所示，两条相距为 L的光滑平行金属导轨位于水平面

(纸面)内，其左端接一阻值为 R的定值电阻，导轨平面与磁感应强度大小为 B的匀强磁场垂直，导轨电阻

不计．导体棒 ab 垂直导轨放置并接触良好，接入电路的电阻也为R.若给棒以平行导轨向右的初速度 v0，当

通过棒横截面的电荷量为 q时，棒的速度减为零，此过程中棒发生的位移为 x.则在这一过程中(　　)

A．导体棒做匀减速直线运动

B．当棒发生的位移为时，通过棒横截面的电荷量为

C．在通过棒横截面的电荷量为时，棒运动的速度为

D．定值电阻 R产生的热量为

【答案】　BD

【解析】　由于导体棒向右减速运动，则感应电动势减小，感应电流减小，所以导体棒受到的安培力减小，

根据牛顿第二定律可知其加速度减小，故导体棒做变减速运动，故 A错误；当棒的速度减为零，发生的位

移为 x时，通过棒横截面的电荷量为 q＝＝，则当棒发生的位移为时，通过棒横截面的电荷量为，故 B正

确；当棒的速度减为零时，通过棒横截面的电荷量为 q＝，设这段时间回路中的平均电流为 1，由动量定理

得－B1Lt1＝0－mv0，其中 q＝1t1

当通过棒横截面的电荷量为时，设这段时间回路中的平均电流为 2

由动量定理得－B2Lt2＝mv1－mv0，其中＝2t2

解得：v1＝，m＝，故 C错误；

根据能量守恒可知，棒的速度减为零的过程中，定值电阻 R产生的热量为：

QR＝ΔEk＝mv02＝，

故D正确．

【模型演练 4】(2021·浙江十校联盟联考)如图所示，两条相距 d的平行光滑金属导轨位于同一水平面内，

其右端接一阻值为 R的电阻．质量为 m，电阻为 r的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域

MNPQ 的磁感应强度大小为 B、方向竖直向下．当该磁场区域以速度 v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆

的速度变为 v.已知磁场扫过金属杆所经历的时间为 t，导轨足够长且电阻不计，杆在运动过程中始终与导轨

垂直且两端与导轨保持良好接触．求：

(1)MN 刚扫过金属杆时，杆的加速度大小 a；

(2)PQ 刚要到达金属杆时，电阻 R消耗的电功率 P；

(3)磁场扫过金属杆的过程中金属杆的位移大小 x.

【答案】　(1)　(2)　(3)v0t－

【解析】　 (1)MN 刚扫过金属杆时，杆上产生的感应电动势为 E＝Bdv0

感应电流为 I＝

联立解得 I＝

杆的加速度大小 a＝＝

(2)PQ 刚要到达金属杆时，杆上产生的感应电动势为 E′＝Bd(v0－v)

感应电流为 I′＝

电阻 R消耗的电功率 P＝I′2R＝

(3)根据动量定理得：B dt＝mv－0

其中 q＝t＝＝＝＝

解得磁场扫过金属杆过程中金属杆的位移 x＝v0t－.

【模型演练 5】(2020·哈尔滨师大附中联考)如图所示，光滑、平行、电阻不计的金属导轨固定在竖直平面

内，两导轨间的距离为L，导轨顶端连接定值电阻 R，导轨上有一质量为 m、电阻不计的金属杆．整个装

置处于磁感应强度为 B的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向里．现将杆从M点以 v0的速度竖直向上

抛出，经过时间 t，到达最高点 N，杆始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度大小为 g.求t时间内：

(1)流过电阻的电荷量 q；

(2)电阻上产生的电热 Q.

【答案】　(1)　(2)mv02－

【解析】　(1)根据动量定理，有－mgt－t＝0－mv0

又因为＝BL，q＝t，

联立解得 q＝

(2)根据＝＝＝，

解得 h＝

由能量守恒定律得 Q＝mv02－mgh

联立解得 Q＝mv02－.

【模型演练 6】(多选)(2021·河南九师联盟质检)如图所示，一长为 L＝1 m、质量为 m＝1 kg 的导体棒 ab 垂

直放在固定的足够长的光滑 U形导轨底端，导轨宽度和导体棒等长且接触良好，导轨平面与水平面成θ＝

30°角，整个装置处在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为 B＝0.5 T．现给导体棒沿导轨向上

的初速度 v0＝4 m/s，经时间 t0＝0.5 s，导体棒到达最高点，然后开始返回，到达底端前已做匀速运动．已

知导体棒的电阻为 R＝0.05 Ω，其余电阻不计，重力加速度 g取10 m/s2，忽略电路中感应电流之间的相互

作用，则(　　)

A．导体棒到达导轨平面底端时，流过导体棒的电流为 5 A

B．导体棒到达导轨平面底端时的速度大小为 1 m/s

C．导体棒从开始运动至到达顶端的过程中，通过导体棒的电荷量为 3 C

D．导体棒从开始运动到返回底端的过程中，回路中产生的电能为 15 J

【答案】　BC

【解析】　导体棒到达底端前已做匀速运动，由平衡条件得：mgsin 30 °＝BIL＝，代入数据解得：vm＝1

m/s，选项 B正确；导体棒到达导轨平面底端时，通过导体棒的电流为 I＝＝ A＝10 A，选项 A错误；导体

棒从开始运动到到达顶端的过程中，根据动量定理：－(mgsin 30°＋B L)t0＝0－mv0，其中 t0＝q，解得 q＝3

C，选项 C正确；导体棒从开始运动到返回底端的过程中，由能量守恒定律可知，回路中产生的电能 Q＝

mv02－mvm2＝×1×(42－12) J＝7.5 J，选项 D错误．

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专题19电磁感应中的单导体棒模型目录一.阻尼式单导体棒模型.......................................................................................................................................1二．发电式单导体棒模型...............................................................................................................................

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