202502深圳一模数学答案20250219

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数学试题参考答案及评分标准第1页共 12页

2025 年深圳市高三年级第一次调研考试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 C A B C B C B D

命题说明：

1．说明：本题改编自人教 A版必修第一册 10 页例 1．

2．说明：本题改编自人教 A版必修第二册 71 页例 2．

3．说明：本题改编自人教 A版必修第二册 60 页第 8题．

4．说明：本题改编自人教 A版必须第一册 229 页第 9题．

5．说明：本题改编自 2024 年新高考全国Ⅱ卷第 6题．

6．说明：本题改编自人教 A版选择性必修第一册 129 页第 13 题．

7．说明：本题改编自 2024 年新高考全国Ⅰ卷第 13 题．

8．说明：本题改编自人教 A版必修第二册 119 页例 4．

二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。

命题说明：

9．说明：本题改编自人教 A版选择性必修第三册 112 页思考．

10．说明：本题改编自人教 A版必修第一册 250 页阅读与思考．

11．说明：本题改编自人教 A版选择性必修第一册 116 页第 11 题．

三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。

12．240 13．6 14．14

命题说明：

12．说明：本题改编自人教 A版选择性必修第三册 35 页第 6题．

13．说明：本题改编自人教 A版选择性必修第二册 31 页第 3题．

14．说明：本题改编自《趣味数学 100 题》．

题号 9 10 11

答案 ABD AC AD

数学试题参考答案及评分标准第2页共 12页

四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13 分）

在ABC△中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,abc，2 2 2

c a b ab   ，cos 2 sinB C．

（1）求 B；

（2）若 1b，求 ABC△的面积．

【命题说明】本题改编自 2024 年新高考全国Ⅰ卷第 15 题.

【参考答案】

（1）由余弦定理推论

2 2 2

cos 2

a b c

Cab

 

及2 2 2

c a b ab   得 ……………………………1分

cos 2

C，…………………………………………………………………………………………2分

由于 (0, π )C，……………………………………………………………………………………3分

则π

C， …………………………………………………………………………………………4分

又因为

cos 2 sin 2

B C 

，且 2π

(0, )

B， ……………………………………………………5分

所以 π

B，则 π

B． …………………………………………………………………………6分

（2）解法 1由（1）可知 7π

A，………………………………………………………………7分

且π π π 6 2

sin sin sin( )

12 4 6 4

B

    ， ………………………………………………………8分

7π π π 6 2

sin sin sin( )

12 4 3 4

A

    ，…………………………………………………………9分

由正弦定理： sin sin sin

a b c

A B C

  ， ……………………………………………………………10 分

得sin sin 2 3

sin sin

b A A

aB B

    ， …………………………………………………………………11 分

所以 1 1 3 3 2 3

sin ( 2 3 )

2 2 2 4

S ab C 

      ． ……………………………………………13 分

解法 2由（1）π

A B  ， ………………………………………………………………………7分

所以 sin cosB A  ， ………………………………………………………………………………8分

由正弦定理：

sin sin sin

a b c

A B C

  ，………………………………………………………………9分

得sin sin π π

tan tan( ) 2 3

sin sin 4 3

b A A

a A

B B

         ，………………………………………11 分

1 1 3 3 2 3

sin ( 2 3 )

2 2 2 4

S ab C 

     

． …………………………………………………13 分

解法 3如图，过点 A作AD AC交B C 于D，…………………………………………………7分

由于 7π

A，则 π

DAB B    ， ……………………………………………………………8分

数学试题参考答案及评分标准第3页共 12页

所以 3AD DB  ，2CD ， …………………………………………………………………10 分

2 3a  ， ………………………………………………………………………………………11 分

所以 1 1 3 3 2 3

sin ( 2 3 )

2 2 2 4

S ab C 

      ． ……………………………………………13 分

16．（15 分）

如图，在直三棱柱

1 1 1

ABC A B C

中，

2 3AB AC 

，

120BAC  

，

为

的中点，

为

的中点．

（1）证明：

DE 

平面

1 1

B BCC

；

（2）若

16BB

，求直线

A B

与平面

DBC

所成角的正弦值．

【命题说明】本题改编自 2023 年新高考全国Ⅰ卷第 18 题.

【参考答案】

（1）取

B C

中点

，连接

，

，…………………………………………………………1分

因为

AB AC

，所以

AM BC

，…………………………………………………………………2分

由于点

为正方形

1 1

B BCC

对角线的交点，

为

的中点，所以

为

BCCV

的中位线，

所以

// //EM CC AD

， ……………………………………………………………………………………3分

又

1 1

= =

2 2

EM CC AA AD

，所以四边形 AMED 为平行四边形，………………………………4分

又因为

AA 

平面

A B C

，

AM 

平面

A B C

，则

AA AM

，

EM AM

， …………………5分

由于

,EM BC 

平面

1 1

B BCC

，

EM B C MI

，所以

AM 

平面

1 1

B BCC

， …………………6分

又因为

//DE AM

，所以

DE 

平面

1 1

B BCC

． ……………………………………………………7分

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