2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(二)答案

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2023 年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷

数学（二）

一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 已知集合

 

A x x x  ，

 

 

log 1B x y x   ，则 A B  （）





1,  B.









C. （0，1）D.

 

0,1

【答案】B

【解析】

【分析】分别化简集合 ,A B ，根据并集的定义求解.

【详解】

 

A x x x 

不等式 2

x x的解集是集合 A

又因为

 

 

21 0 0 1, 0 1x x x x x A x x          

又

 

 

log 1x y x ，所以满足函数

 

log 1y x  中x的范围就是集合

所以

 

1 0 1 1x x B x x      

所以

     





0 1 1 0 0,A B x x x x x x



         

故选：B

2. 已知复数

  

2i 1 iz a   为纯虚数，则实数

a

（）

A. 1

B. 2

C. 2 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.

【详解】

    

i 22i 1 i i 2i 2 i2a a a az a         ，

因为复数 z为纯虚数，所以 2 0

2 0

 



 

，即 2a  .

故选：D

3. 在正方形 ABCD 中，M是BC 的中点．若 AC m

 ，AM n

 ，则 BD 

 （）

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A. 4 3m n

  B. 4 3m n

 

C. 3 4m n

  D. 3 4m n

 

【答案】C

【解析】

【分析】作图，根据图像和向量的关系，得到 2( ) 2 2BC AC AM m n   

     和

AB AC BC 

  

2 2 2m m n n m    

     ，进而利用 BD BC CD BC AB   

     ，可得答案.

【详解】

如图， AC m

 ，AM n

 ，且在正方形 ABCD 中， AB DC

 

1

AC AM MC BC  

   

，2( ) 2 2BC AC AM m n    

     ，

AC AB BC 

   ，AB AC BC  

  

2 2 2m m n n m    

     ，

BD BC CD BC AB    

    

2 2 2 3 4m n n m m n    

     

故选：C

4. 已知 4

0.5a，5

log 0.4b，0.5

log 0.4c，则 a，b，c的大小关系是（）

A. b a c  B. a c b 

C. c a b  D. a b c 

【答案】C

【解析】

【分析】利用指数函数，对数函数单调性，找出中间值 0,1 ，使其和 , ,a b c 比较即可.

【详解】根据指数函数单调性和值域， 0.5x

y在R上递减，结合指数函数的值域可知，

 

4 0

0,0.5 0,10.5a  ；根据对数函数的单调性， 5

logy x在(0, ) 上递增，则

5 5

log 0.4 log 1 0b   ，0.5

logy x在(0, ) 上递减，故 0.5 0.5

log 0.4 log 0.5 1c   ，

即1 0c a b    ，C选项正确.

故选：C

5. 端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一

个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状

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近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是 9π 时，则该正四面体的高的最小值为（）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意分析可知，当该正四面体的内切球的半径为 3

2时，该正四面体的高最小，

再根据该正四面体积列式可求出结果.

【详解】由球的表面积为 9π ，可知球的半径为 3

2，

依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为 3

2时，该正四面体的高最小，

设该正四面体的棱长为 a，则高为 2 2

2 3 6

( )

3 2 3

a a a   ，

根据该正四面体积的可得 2

1 6 3

3 3 4

a a   2

1 3 3

3 2 4 a   ，解得 3 6a.

所以该正四面体的高的最小值为 6 6 3 6 6

3 3

a   .

故选：B

6. 现有一组数据 0，l，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的

平均数大于 4的概率为（）

A. 5

14 B. 3

14 C. 2

7D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】先得到删去的两个数之和为 4时，此时剩下的数据的平均数为 4，从而得到要想这

组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于 4，则删去的两个数之和要小于 4，利用列

举法得到其情况，结合组合知识求出这组数据随机删去两个数总共的情况，求出概率.

【详解】

0，

l，

2，

3，

4，

5，

6，

7删去的两个数之和为 4时，此时剩下的数据的平均数为 28 4 4

8 2



，

所以要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于 4，则删去的两个数之和要小于

4，

有

       

0,1 , 0, 2 , 0, 3 , 1, 2 四种情况符合要求，

将这组数据随机删去两个数，共有 2

C 28种情况

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所以将这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于 4的概率为 4 1

28 7

.

故选：D

7. 在棱长为 3的正方体 1 1 1 1

ABCD A B C D中，O为AC 与BD 的交点，P为1 1

A D 上一点，

且1 1

2A P PD

 

，则过 A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（）

A. 4 13 B. 6 2

C. 2 13 2 2D. 2 13 4 2

【答案】D

【解析】

【分析】根据正方体的性质结合条件作出过 A，P，O三点的平面截正方体所得截面，再求

周长即得.

【详解】因为 1 1

2A P PD

 

，即 1 1 1

D P AD

 

，

取1 1 1

D H D C

uuuur uuuur

，连接 1 1

, ,PH HC A C ，则 1 1

/ /HP A C ，

又1 1

/ /AC A C ，

所以 / /HP AC ，

所以 , , , ,A O C H P 共面，即过 A，P，O三点的正方体的截面为

ACHP

，

由题可知 2 2

3 2 13AP CH    ，2PH ，1 1 3 2A C ，

所以过 A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为 4 2 2 13.

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故选：D.

8. 不等式

e ln 1



 

xa x

x x

对任意 (1, )x  恒成立，则实数 a的取值范围是（）

A. ( ,1 e]  B.



, 2 e 

  C. ( , 4]  D.

( , 3] 

【答案】C

【解析】

【分析】分离参数，将

e ln 1



 

xa x

x x

变为

4 1

e, 1

x x

a x

  

  ，然后构造函数，即将不

等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.

【详解】由不等式

e ln 1



 

xa x

x x

对任意 (1, )x  恒成立，此时 ln 0x，

可得

4 1

e, 1

x x

a x

  

  恒成立，

令

4 1

e, 1

x x

y x

  

  ，从而问题变为求函数

4 1

e, 1

x x

y x

  

  的最小值或范围问题；

令1

( ) ex

g x x



  ，则 1

( ) e 1

g x 

  ，

当1x时， 1

( ) e 1 0

g x 

   ，当 1x时， 1

( ) e 1 0

g x 

   ，

故1

( ) e (1) 0

g x x g



    ，即 1

exx

，

所以 4

4 1 1 ln 4ln 1

e e e e 4ln

x x x x x

x x x



    

     ，( )，当且仅当 4ln 1x x  时取等号，

令( ) 4 ln 1h x x x   ，则 4 4

( ) 1 x

h x x x



   ，

当4x时， ( ) 0h x

，当 >4x时， ( ) 0h x

，

故min

( ) (4) 3 4ln 4 0h x h    ，且当 x  时， ( ) 4 ln 1h x x x   也会取到正值，

即4ln 1x x  在1x时有根，即 ( )等号成立，

所以 4 1

e 4 ln 4 ln

x x x x x x

        ，

则

4 1

x x

    ，故 4a  ，

故选：C

【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题

转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里

需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.

二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，

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第1页/共20页学科网（北京）股份有限公司2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合2Axxx，2log1Bxyx，则AB（）A.1,B.0,C.（0，1）D.0,1【答案】B【解析】【分析】分别化简集合,AB，根据并集的定义求解.【详解】2Axxx不等式2xx的解集是集合A又因为21001,01xxxxxAxx又2log1xyx，所以满足函数2log1y...

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